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| Aufgabe | Sei f: [mm] [a,b]\to\IR [/mm] eine Regelfunktion. Sei [mm] x_0\in[a,b]. [/mm] Zeigen Sie:
a) [mm] g:[a,b]\to\IR, x\mapsto \begin{cases} f(x), & \mbox{, } x\not=x_0 \mbox{ } \\ c, & \mbox{, } x=x_0 \mbox{} \end{cases},
[/mm]
c [mm] \in\IR [/mm] fest, ist eine Regelfunktion |
Hallo zusammen,
ich habe hier einen Satz „Kriterium für Regelfunktionen“ der besagt:
Eine Funktion ist eine Regelfunktion, wenn, und nur wenn der Grenzwert an jedem Punkt von links sowie von rechts existiert.
Hier wird ja nichts darüber gesagt, dass dieser gleich sein muss, lediglich, dass ein rechts und linksseitiger Grenzwert existiert.
Die Funktion g ist ja dieselbe wie f, bis auf eine Stelle [mm] x_0, [/mm] an dem sie einen Wert C annimmt. Das bedeutet, man weiß von g, dass sie bis auf die Stelle [mm] x_0 [/mm] eine Regelfunktion sein muss, nach Voraussetzung.
Zu untersuchen ist also der Punkt [mm] x_0, [/mm] wobei ich da mit dem beidseitigen Grenzwert Kriterium ansetzen würde?
Falls das überhaupt ein richtiger Weg ist, wie kann ich zeigen, dass der rechts bzw. linksseitige Grenzwert bei [mm] x_0 [/mm] existiert? Ich kenne ja die Abbildungsvorschrift von f gar nicht, ist das ein Problem?
Würde mich über Hilfe freuen!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Mi 25.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm][a,b]\to\IR[/mm] eine Regelfunktion. Sei [mm]x_0\in[a,b].[/mm]
> Zeigen Sie:
>
> a) [mm]g:[a,b]\to\IR, x\mapsto \begin{cases} f(x), & \mbox{, } x\not=x_0 \mbox{ } \\ c, & \mbox{, } x=x_0 \mbox{} \end{cases},[/mm]
>
> c [mm]\in\IR[/mm] fest, ist eine Regelfunktion
> Hallo zusammen,
>
> ich habe hier einen Satz „Kriterium für
> Regelfunktionen“ der besagt:
>
> Eine Funktion ist eine Regelfunktion, wenn, und nur wenn
> der Grenzwert an jedem Punkt von links sowie von rechts
> existiert.
>
> Hier wird ja nichts darüber gesagt, dass dieser gleich
> sein muss, lediglich, dass ein rechts und linksseitiger
> Grenzwert existiert.
> Die Funktion g ist ja dieselbe wie f, bis auf eine Stelle
> [mm]x_0,[/mm] an dem sie einen Wert C annimmt. Das bedeutet, man
> weiß von g, dass sie bis auf die Stelle [mm]x_0[/mm] eine
> Regelfunktion sein muss, nach Voraussetzung.
>
> Zu untersuchen ist also der Punkt [mm]x_0,[/mm] wobei ich da mit dem
> beidseitigen Grenzwert Kriterium ansetzen würde?
>
> Falls das überhaupt ein richtiger Weg ist, wie kann ich
> zeigen, dass der rechts bzw. linksseitige Grenzwert bei [mm]x_0[/mm]
> existiert? Ich kenne ja die Abbildungsvorschrift von f gar
> nicht, ist das ein Problem?
Nein:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0+}g(x)= \limes_{x\rightarrow x_0+}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow x_0-}g(x)= \limes_{x\rightarrow x_0-}f(x) [/mm]
FRED
>
> Würde mich über Hilfe freuen!
>
> Liebe Grüße
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Hi, danke dir für die Antwort!
Aber woher weiß ich denn, dass gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0+}g(x)=\limes_{x\rightarrow x_0+}f(x)?
[/mm]
(und entsptechend von der anderen Seite)
Das muss ich doch noch irgendwie zeigen, oder?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mi 25.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi, danke dir für die Antwort!
>
> Aber woher weiß ich denn, dass gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0+}g(x)=\limes_{x\rightarrow x_0+}f(x)?[/mm]
>
> (und entsptechend von der anderen Seite)
>
> Das muss ich doch noch irgendwie zeigen, oder?
Es ist doch f(x)=g(x) für jedes x [mm] \in [/mm] [a,b] \ { [mm] x_0 [/mm] }
FRED
>
> Gruß
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Ja genau und jetzt nähere ich mich von links und rechts gegen den Punkt [mm] x_0. [/mm] Vielleicht stehe ich grade auf der Leitung, aber mir ist nicht ganz klar, woher ich denn sicher sagen, kann, dass die Grenzwerte der beiden Funktionen gleich sind (ich möchte ja auch nur zeigen, dass der Grenzwert für g(x) überhapt beideitig existiert)...
Gruß
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Moin,
> Ja genau und jetzt nähere ich mich von links und rechts
> gegen den Punkt [mm]x_0.[/mm] Vielleicht stehe ich grade auf der
> Leitung, aber mir ist nicht ganz klar, woher ich denn
> sicher sagen, kann, dass die Grenzwerte der beiden
> Funktionen gleich sind (ich möchte ja auch nur zeigen,
> dass der Grenzwert für g(x) überhapt beideitig existiert)...
Bei der Betrachtung des links-/ rechtsseitigen Grenzwerts einer Funktion in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] spielt der Funktionswert an diesem Punkt keine Rolle. Da alle Funktionswerte von f und g auf [mm] [a,b]\backslash\{x_0\} [/mm] übereinstimmen, folgt die Übereinstimmung der Grenzwerte.
Nur ein anderes Beispiel: Bei der Untersuchung auf stetige Fortsetzbarkeit von einer Funktion am Rand ihres Definitionsbereichs ist diese im kritischen Punkt nicht einmal definiert. Trotzdem kann man z.B. für eine Funktion f: [mm] (a,b]\to\IR [/mm] untersuchen, ob der Grenzwert [mm] \lim_{x\to a+}f(x) [/mm] existiert.
>
> Gruß
LG
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