Regeln für Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Athena |
Hallo!
Ich komme nicht ganz mit den Regeln für Verteilungsfunktionen zurecht. Ich schreibe hier mal meine Gedankengänge dazu und würde mich freuen wenn man mir die bestätigt oder meine Fehler darin findet. :)
Folgende Definition ist die Grundlage: F(x) = P({X [mm] \le [/mm] x}), x [mm] \in \IR
[/mm]
Außerdem folgende Abkürzung: F(x-0) = [mm] \limes_{h>0,h \rightarrow 0} [/mm] F(x-h)
Dann gilt laut Buch (Lehn, Wegmann):
(i) P(a < X [mm] \le [/mm] b) = F(b) - F(a)
Ok, das erscheint mir gleich einleuchtend. F(b) ist ja P({X [mm] \le [/mm] b}) und wenn ich F(a) abziehe, dann ziehe ich die Wahrscheinlichkeit für alle Elemente kleiner als a inklusive a ab [mm] \Rightarrow [/mm] bleibt also nur noch das zwischen (exklusive) a und (inklusive) b übrig.
(ii) P(X=a) = F(a) - F(a-0)
Gut, daraus schließe ich mal, dass F(a-0) sich auf alle Elemente kleiner a bezieht, a aber nicht einbezieht. Hat Sinn, das heisst ich berechne die Wahrscheinlichkeit für die Elemente [mm] \le [/mm] a und ziehe dann alle kleiner a ab. Bleibt also nur die Wahrsch. für a übrig.
(iii) P(a [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] b) = F(b) - F(a-0)
Wenn obige Annahmen richtig sein sollten verstehe ich auch das hier und die Folgenden.
(iv) P(a [mm] \le [/mm] X < b) = F(b-0) - F(a-0)
(v) P(X > a) = 1-F(a)
Ok, soweit schön und gut, aber es fehlt in dieser Auflistung noch P(a < X < b).
Wenn meine Annahmen zutreffen müsste folgendes gelten
P(a < X < b) = F(b-0) - F(a)
Stimmt das denn?
Danke im Voraus und liebe Grüße
Jessi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Athena |
Vielen Dank :) Ich würde es gerne mathematischer begründen, aber ich habe ziemliche Probleme damit, mir kommt es oft so vor als würden Dinge als völlig klar vorausgesetzt, für die ich eine Stunde zum Verstehen brauche (dabei finde ich Statistik das interessanteste Teilgebiet der Mathematik!). Meistens noch mit dem fiesen Kommentar "Nach trivialer Umformung folgt <Ergebnis>". ;)
Ich hätte da gleich noch eine weitere Frage falls das ok ist.
Ich soll die Randdichten berechnen, laut Lehn/Wegmann mache ich das mit: [mm] f_{X}(x)= \integral_{- \infty}^{ \infty} [/mm] {f(x,t) dt} bzw analog dazu [mm] f_{Y}(y)= \integral_{- \infty}^{ \infty} [/mm] {f(s,y) ds}
Die Dichte sei gegeben mit (sorry, der Fallunterscheidungscode klappt bei mir nicht):
f(x,y)= 2, für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 und 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1-x
f(x,y)= 0, sonst
Also versuche ich das ganze auf die Aufgabe anzuwenden.
Da ich über den zweiten Parameter t integriere gibt mir die Bedingung dafür die Integrationsgrenzen 0 und 1-x denke ich mir mal.
[mm] f_{X}(x)=\integral_{0}^{1-x} [/mm] {2 dy}= 2(1-x) , für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
[mm] f_{X}(x)=0, [/mm] sonst
Die Bedingung für x übernehme ich einfach mal, gibt ja keinen Grund sie zu ändern.
Soweit stimme ich mit der Musterlösung überein. Hier jetzt was ich mir eigentlich gedacht hatte.
[mm] f_{Y}(y)=\integral_{0}^{1} [/mm] {2 dx}= 2 , für 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1-x
[mm] f_{Y}(y)=0, [/mm] sonst
Jetzt beim Schreiben fällt mir auf, das das eigentlich nicht sein kann, dass ich in meiner Randverteilung für y den Parameter x habe. Aber wenn ich das Integral über x geht, dann muss doch die Bedingung für x auch meine Integralsgrenzen ergeben, oder?
In der Lösung steht für [mm] f_{Y}(y):
[/mm]
[mm] f_{X}(x)=2(1-y) [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1
[mm] f_{X}(x)=0, [/mm] sonst
Dass bei mir etwas nicht richtig sein kann ahne ich, aber ich kann mir nicht denken wie ich hier vorgehen soll, bin da etwas enttäuscht, dass es Lehrbuch einen da so alleine läßt. ;)
Vielen Dank im Voraus und liebe Grüße
Jessi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jessica!
Es gilt:
[mm] $\{(x,y) \in [0,1]^2\, : 0 \le x \le 1, \, 0 \le y \le 1-x\} [/mm] = [mm] \{(x,y) \in [0,1]^2\, :0 \le y \le 1,\, 0 \le x \le 1-y\}$.
[/mm]
Hilft dir das schon weiter? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Athena |
Danke erstmal! :)
Also damit kann ich jetzt die Bedingung problemlos so umbiegen, dass ich beide Male analog rechne und damit das gleiche Ergebnis bekomme.
Nur der Hintergrund dieser Regel wird mir nicht ganz klar. Hat das etwas mit Ereignis und Gegenereignis zu tun? Setze ich x auf 0,25 im linken Teil von
$ [mm] \{(x,y) \in [0,1]^2\, : 0 \le x \le 1, \, 0 \le y \le 1-x\} [/mm] = [mm] \{(x,y) \in [0,1]^2\, :0 \le y \le 1,\, 0 \le x \le 1-y\}$
[/mm]
dann kann also y maximal 0,75 sein. Und setze ich 0,75 in den rechten Teil als maximalen Wert für y ein kommt entsprechend 0,25 als maximaler Wert für x heraus. Sehe ich das so richtig?
Also anwenden kann ich es, vielen Dank, nur der Hintergrund erschließt sich nicht sofort. :)
Liebe Grüße zu später Stunde (jaja, die Klausur ist nah *zwinker*)
Jessi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jessica!
Das gibt es doch gar nicht, dass es keiner geschafft hat diese Frage am Wochenende zu beantworten... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Also, mit Gegenereignis hat das nichts zu tun, es ist eine einfache Äquivalenzumformung:
$y [mm] \le [/mm] 1-x [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] x [mm] \le [/mm] 1-y$
(rechne, um von links nach rechts zu kommen, auf beiden Seite $+x-y$).
Vielleicht hilft es dir auch dir das Ganze mal im Einheitsquadrat [mm] $[0,1]^2$ [/mm] einzuzeichnen (schraffiere den relevanten Bereich mal...)
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Athena |
Ahhh, ja! Der Tip mit dem Einheitsquadrat hat es gebracht, herzlichen Dank! Jetzt hab ichs verstanden. *freu*
Liebe Grüße
Jessi
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
