Regenrinne m minimalem Umfang < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Mi 09.04.2025 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Der Querschnitt einer Regenrinne besteht aus einem Halbkreis und einem darauf aufgesetzten Rechteck (nach oben offen).
a) Zeigen Sie, dass für den Umfang bei gegebener Querschnittsfläche F gilt:
U(r) = [mm] \bruch{F}{r} [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2}*r
[/mm]
wobei r der Radius des Halbkreises ist.
b) Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit der Blechverbrauch ein Minimum annimmt? |
Moin Moin,
zu a) Hmm. Also die Querschnittfläche besteht aus einem Rechteck und einem Halbkreis.
Dabei sind die Seiten des Rechtecks bspw. a und 2r.
Umfang
Der Halbkreis hat den Umfang [mm] U_{HK}= \pi*r
[/mm]
Die relevanten Rechteckseiten haben den Umfang [mm] U_{R} [/mm] = 2*a
Der Umfang der Regenrinne ist dann:
U = 2*a + [mm] \pi*r [/mm] (Hauptbedingung)
Fläche
Der Halbkreis hat die Fläche [mm] F_{HK} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\pi*r^2
[/mm]
Das Rechteck hat die Fläche [mm] F_{R} [/mm] = a*2r
Die Fläche der Regenrinne ist dann
F = a*2r + [mm] \bruch{1}{2}*\pi*r^2 [/mm] (Nebenbedingung)
Dann wäre [mm] \bruch{F}{r} [/mm] = 2*a + [mm] \bruch{1}{2}*\pi*r [/mm]
achso, dann wäre
U = 2*a + [mm] \bruch{1}{2}*\pi*r [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\pi*r [/mm]
zu b) Nun müsste man a mithilfe von F ausdrücken...
F = a*2r + [mm] \bruch{1}{2}*\pi*r^2
[/mm]
bzw. nach a auflösen...
[mm] \bruch{F - \bruch{1}{2}*\pi*r^2}{2r} [/mm] = a
und a in U einsetzen:
U = [mm] 2*\bruch{F - \bruch{1}{2}*\pi*r^2}{2r} [/mm] + [mm] \pi*r
[/mm]
U = [mm] \bruch{F}{r} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\pi*r
[/mm]
U ' = - [mm] \bruch{F}{r^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\pi
[/mm]
U '' = [mm] \bruch{2F}{r^3} [/mm]
U ' = 0 = > [mm] r^2 [/mm] = [mm] \bruch{2*F}{\pi}
[/mm]
r = [mm] \wurzel{\bruch{2*F}{\pi}} [/mm] 1. Abmessung
a = [mm] \bruch{F - \bruch{1}{2}*\pi*r^2}{2r} [/mm]
a = [mm] \bruch{F - \bruch{1}{2}*\pi*\bruch{2*F}{\pi}}{2*\wurzel{\bruch{2*F}{\pi}}} [/mm]
a = 0 ???
Und das soll stimmen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:52 Do 10.04.2025 | | Autor: | statler |
Hi!
> Der Querschnitt einer Regenrinne besteht aus einem
> Halbkreis und einem darauf aufgesetzen Rechteck (nach oben
> offen).
>
> a) Zeigen Sie, dass für den Umfang bei gegebener
> Querschittsfläche F gilt:
>
> U(r) = [mm]\bruch{F}{r}[/mm] + [mm]\bruch{\pi}{2}*r[/mm]
>
> wobei r der Radius des Halbkreises ist.
>
>
> b) Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit der
> Blechverbrauch ein Minimum annimmt?
> Moin Moin,
>
> zu a) Hmm. Also die Querschnittfläche besteht aus einem
> Rechteck und einem Halbkreis.
>
> Dabei sind die Seiten des Rechtecks bspw. a und 2r.
>
> Umfang
> Der Halbkreis hat den Umfang [mm]U_{HK}= \pi*r[/mm]
> Die relevanten
> Rechteckseiten [mm]U_{R}[/mm] = 2*a
>
> U = 2*a + [mm]\pi*r[/mm]
>
>
> Fläche
> Der Halbkreis hat die Fläche [mm]F_{HK}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}*\pi*r^2[/mm]
> Das Rechteck hat die Fläche [mm]F_{R}[/mm] = a*2r
>
>
> F = a*2r + [mm]\bruch{1}{2}*\pi*r^2[/mm]
>
>
> Dann wäre [mm]\bruch{F}{r}[/mm] = 2*a + [mm]\bruch{1}{2}*\pi*r[/mm]
>
> achso, dann wäre
>
> U = 2*a + [mm]\bruch{1}{2}*\pi*r[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}*\pi*r[/mm]
>
>
>
> zu b) Nun müsste man a mithilfe von F ausdrücken...
>
> F = a*2r + [mm]\bruch{1}{2}*\pi*r^2[/mm]
>
> bzw. nach a auflösen...
>
> [mm]\bruch{F - \bruch{1}{2}*\pi*r^2}{2r}[/mm] = a
>
> und a in U einsetzen:
>
>
> U = [mm]2*\bruch{F - \bruch{1}{2}*\pi*r^2}{2r}[/mm] + [mm]\pi*r[/mm]
>
> U = [mm]\bruch{F}{r}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}*\pi*r[/mm]
>
> U ' = - [mm]\bruch{F}{r^2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}*\pi[/mm]
>
> U '' = [mm]\bruch{2F}{r^3}[/mm]
>
>
> U ' = 0 = > [mm]r^2[/mm] = [mm]\bruch{2*F}{\pi}[/mm]
>
>
> r = [mm]\wurzel{\bruch{2*F}{\pi}}[/mm] 1. Abmessung
>
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> a = [mm]\bruch{F - \bruch{1}{2}*\pi*r^2}{2r}[/mm]
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> a = [mm]\bruch{F - \bruch{1}{2}*\pi*\bruch{2*F}{\pi}}{2*\wurzel{\bruch{2*F}{\pi}}}[/mm]
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> a = 0 ???
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> Und das soll stimmen?
Warum nicht? Der Querschnitt ist dann der Halbkreis.
Gruß Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:30 Do 10.04.2025 | | Autor: | Infinit |
Hallo hase-hh,
die Rechnung als solche ist durchaus okay, wie auch Statler schon schrieb. Die Aufgabenstellung ist jetzt nicht gerade so eindeutig, wie man es sich vorstellen könnte. Entweder benötige ich den hochgezogenen Teil des Halbkreises oder eben nicht. Wenn ich ihn wegfallen lasse, ist der Materialverbrauch natürlich am minimalsten.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Do 10.04.2025 | | Autor: | hase-hh |
Okay. Das würde bedeuten, dass man, bei fest vorgegebenem Flächeninhalt F der Regenrinne, zu einem minimalen Materialverbrauch (bzw. Umfang) kommt, wenn man den Radius r vergrößert anstatt die Rechtecksbreite a.
Also wäre meine Schlussfolgerung, dass eine Vergrößerung des Radius zu einer größeren zusätzlichen Fläche führt, als wenn man die Rechtecksbreite vergrößert bzw. ein Rechteck aufsetzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Do 10.04.2025 | | Autor: | Infinit |
Hallo hase-hh,
Für eine gegebene Fläche hast Du ja berechnet, dass der Umfang minimal ist für ein a = 0.
Für Deinen Vergleich kann man einfach mal den Ausdruck für die Fläche berechnen, wenn man den Radius der Regenrinne vergrößert.
Wir haben ein
[mm] F_{alt}= \pi r^2 + 2ra= F_1 + F_2 [/mm]
Vergrößert man nun Radius um [mm] \Delta r [/mm], bekommt man
[mm] F_{neu} = \pi (r+\Delta r)^2 + 2a(r+\Delta r) = \pi (r^2+(\Delta r)^2 + 2r(\Delta r)) + 2ra + 2\Delta r a [/mm]
Dies lässt sich auch schreiben als
[mm] F_{neu} = F_{alt} + 2 \pi r \Delta r+ \pi (\Delta r)^2 +2 \Delta r a [/mm]
Du siehst, es gibt hier immer noch einen gemischten Term, [mm] 2 \Delta r a [/mm], in dem beide Variablen vorkommen, der größte Teil des Zuwachses geschieht aber sicher durch die quadratischen Term aufgrund der Halbkreisfläche. Unter der Bedingung, dass der Umfang minimal sein soll, ist jedoch [mm] a = 0 [/mm] die optimale Lösung.
Viele Grüße,
Infinit
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