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| Aufgabe | Ein Ingenieur führt Versuch zur Bestimmung gewisser Materialeigenschaften durch. Von den zwei paarweise erhobenen Merkmalen (x,y) ist bekannt, dass diese durch einen Zusammenhang der Form y=f(x):= a+b*10^-x beschrieben werden.
Als konkrete Messreihe erhält der Ingenier die Datenpunkte [mm] (x_i, y_i);i=1,....,6 \begin{array}{|c|c|}
x_i & y_i\\
\hline
0,1 & 1,065\\
0,2 & 1,037\\
0,4 & 0,967\\
0,7 & 0,938\\
0,9 & 0,933\\
1,2 & 0,922\\
\end{array}
[/mm]
a) Bestimmen sie die Parameter a,b so, dass die Summer der Fehlerquadrate [mm] \sum_{k=1}^6 (f(x_i)-y_i)^2 [/mm] minimal wird.
Tipp: Führen Sie das Problem mit Hilfe einer geeigneten Transformation der Daten auf eine lineare Regression zurück)
b) Stellen sie sowohl die transformierten als auch die nicht transformierten Daten mit einer Punktewolke dar und zeichnen Sie die Regressionsgerade bzw. -kurve. |
Guten Abend,
ich hab mich heute mit dieser Aufgabe auseinandergesetzt und bin nun auf der Suche, nach einer geeigneten Transformation.
Da die Funktion eine Exponentialfunktion ist dachte ich mir, dass ich durch logarithmieren der gesamten Funktion vlt helfen könnte.
Nach dem Logarithmieren kam ich auf folgende Funktion log [mm] y_i [/mm] = log a + log b -x.
Wenn ich jetzt log [mm] y_i [/mm] := u und x:=v festlegen, dann wäre es ja auch eine lineare Funktion bei der log a + log b = a und b = 1 gelten würden.
Nur leider stimmen die Werte, die ich so errechne nicht mit denen meiner Kommilitonen überein.
Ist mein Vorgehen prinzipiell falsch oder habe ich oder meine Kommilitonen sich nur verrechnet?
Mfg
K.H.v.Raettinger
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ein Ingenieur führt Versuch zur Bestimmung gewisser
> Materialeigenschaften durch. Von den zwei paarweise
> erhobenen Merkmalen (x,y) ist bekannt, dass diese durch
> einen Zusammenhang der Form $\ y\ =\ f(x):= [mm] a+b*10^{-x}$ [/mm] beschrieben
> werden.
> Als konkrete Messreihe erhält der Ingenieur die
> Datenpunkte [mm](x_i, y_i);i=1,....,6\qquad \begin{array}{|c|c|}
x_i & y_i\\
\hline
0,1 & 1,065\\
0,2 & 1,037\\
0,4 & 0,967\\
0,7 & 0,938\\
0,9 & 0,933\\
1,2 & 0,922\\
\end{array}[/mm]
>
> a) Bestimmen sie die Parameter a,b so, dass die Summe der
> Fehlerquadrate [mm]\sum_{i=1}^6 (f(x_i)-y_i)^2[/mm] minimal wird.
> Tipp: Führen Sie das Problem mit Hilfe einer geeigneten
> Transformation der Daten auf eine lineare Regression
> zurück)
>
> b) Stellen sie sowohl die transformierten als auch die
> nicht transformierten Daten mit einer Punktewolke dar und
> zeichnen Sie die Regressionsgerade bzw. -kurve.
> Guten Abend,
>
> ich hab mich heute mit dieser Aufgabe auseinandergesetzt
> und bin nun auf der Suche, nach einer geeigneten
> Transformation.
> Da die Funktion eine Exponentialfunktion ist dachte ich
> mir, dass ich durch logarithmieren der gesamten Funktion
> vlt helfen könnte.
> Nach dem Logarithmieren kam ich auf folgende Funktion
> log [mm]y_i[/mm] = log a + log b -x. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das stimmt nicht (Logarithmengesetze)
> Wenn ich jetzt log [mm]y_i[/mm] := u und x:=v festlegen, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Das wäre gar keine Substitution, sondern eine bloße Umbenennung !
> dann wäre
> es ja auch eine lineare Funktion bei der log a + log b = a
> und b = 1 gelten würden.
> Nur leider stimmen die Werte, die ich so errechne nicht
> mit denen meiner Kommilitonen überein.
> Ist mein Vorgehen prinzipiell falsch oder habe ich oder
> meine Kommilitonen sich nur verrechnet?
>
> Mfg
>
> K.H.v.Raettinger
Hallo,
1.) deine Idee:
Du willst offenbar dem Hinweis folgen, wenn du die Substitution
(Transformation) zur linearen Gleichung in u und v machst.
Um die Gleichung $ \ y\ =\ f(x):= [mm] a+b\cdot{}10^{-x} [/mm] $
zu logarithmieren, musst du zuerst a subtrahieren:
$ \ y-a\ =\ [mm] b\cdot{}10^{-x} [/mm] $
Erst jetzt kann man wirklich sinnvoll logarithmieren und hat:
$ \ lg(y-a)\ =\ lg(b)-x $
was die Sache aber nicht wirklich vereinfacht.
2.) Lösung via Substitution:
Um wirklich zu einer linearen Regression zu kommen, sollte
man aber substituieren: $\ [mm] w:=10^{-x}$ [/mm] , also $\ x=-lg(w)$
Damit müsste man nun eine Gleichung der Form $\ y=r(w)=a+b*w$ suchen,
welche die Punktepaare [mm] (w_i|y_i) [/mm] möglichst gut approximiert.
Bei der dann (in der w-y ausgeführten) linearen Regression
wird die Quadratsumme [mm]\sum_{i=1}^6 (r(w_i)-y_i)^2[/mm] minimal gemacht.
3.) Begründung des Verfahrens:
Wenn man die Aufgabe, so wie sie dasteht, ernst nimmt, so
ist der Hinweis mit der Transformation zunächst nicht ganz
einsichtig.
Man muss ja die Fehlerquadratsumme
$\ Q(a,b)\ =\ [mm] \sum_{i=1}^6 (a+b*10^{-x_i}-y_i)^2$
[/mm]
um ihr Minimum zu suchen, zunächst nach a und nach b
ableiten und dann diese partiellen Ableitungen [mm] Q_a [/mm] und [mm] Q_b [/mm]
beide gleich null setzen.
Daraus ergibt sich ein Gleichungssystem zur Berechnung
der Koeffizienten a und b. Man kann dann sehen, dass
dieses äquivalent ist zum Gleichungssystem, das man
aus der linearen Regression in der w-y-Ebene über die
Substitution erhält.
LG Al-Chw.
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Vielen Dank für die Hilfe und entschuldigung, dass ich so lange dafür gebraucht habe mich zu Bedanken.
Mfg
Raettinger
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