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Hi, habe ein paar Verständnisprobleme mit einem Beispiel zu regulären Flächen.
Erst einmal unsere Defintion:
Sei [mm] S\subset \IR^3 [/mm] eine Teilmenge. Wir nennen S eine reguläre Fläche, falls es zu jedem Punkt [mm] p\in [/mm] S eine offene Umgebung V von p im [mm] \IR^3 [/mm] gibt, falls es ferner eine offene Teilmenge U [mm] \subset \IR^2 [/mm] und eine glatte Abbildung [mm] F:U\to\IR^3 [/mm] gibt, sodass
i) [mm] F(U)=S\cap [/mm] V und [mm] F:U\to S\cap [/mm] V ist ein Homöomorphismus
ii) die Jacobimatrix [mm] D_u [/mm] F hat für jeden Punkt [mm] u\in [/mm] U Rang 2.
Beispiel: Funktionsgrafen
Sei [mm] U\subset [/mm] offen, [mm] f:U\to \IR [/mm] eine glatte Funktion. Wie betrachten den Graf von f,
[mm] S=\{(x,y,z)\in \IR | (x,y)\subset U, z=f(x,y) \}.
[/mm]
Überprüfung der Bedingungen aus der Defintion 1
i) Wir kommen mit einer einzigen Parametrisierung aus. Wir setzen
[mm] V:=\IR^3, F:U\to \IR^3 [/mm] und F(x,y):=(x,y,f(x,y))
Dann gilt offensichtlich [mm] F(U)=S=S\cap [/mm] V. Ferner ist F glatt und die Umkehrabbildung G ist ebenfalls stetig. Somit ist F: [mm] U\to [/mm] S ein Homöomorphismus. Also ist i) erfüllt.
ii) Nun überprüfen wir die Bedingung ii). Die Matrix
[mm] D_{(x,y)}F=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \bruch{d f(x,y)}{dx} & \bruch{d f(x,y)}{dy} }
[/mm]
hat für jedes [mm] (x,y)\in [/mm] U Rang 2.
So, und jetzt kommen meine Fragen zu dieser Aufgabe.
> Sei [mm] U\subset [/mm] offen, [mm] f:U\to \IR [/mm] eine glatte Funktion. Wie betrachten den Graf von f,
> [mm] S=\{(x,y,z)\in \IR | (x,y)\subset U, z=f(x,y) \}.
[/mm]
Wie kann ich mir solch einen Grafen vorstellen? Wie sieht der denn aus?
> Dann gilt offensichtlich [mm] F(U)=S=S\cap [/mm] V
Woher sieht man das? Also, dass F(U)=S ist??
> Ferner ist F glatt und die Umkehrabbildung G ist ebenfalls stetig. Somit ist F: [mm] U\to [/mm] S ein Homöomorphismus. Also ist i) erfüllt.
Wieso sagen die erst, [mm] F:U\to \IR^3 [/mm] und nun ist F auf einmal F: [mm] U\to [/mm] S ? ist egal, ob da S oder [mm] \IR^3 [/mm] steht? Oder liegt das daran, dass S [mm] \in \IR^3 [/mm] liegt?
> ii) Nun überprüfen wir die Bedingung ii). Die Matrix
[mm] D_{(x,y)}F=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \bruch{d f(x,y)}{dx} & \bruch{d f(x,y)}{dy} }
[/mm]
> hat für jedes [mm] (x,y)\in [/mm] U Rang 2.
Rang 2 doch daher, weil immer gilt Zeilenrang=Spaltenrang? Und da hier der Spalten Rang 2 ist, muss die Matrix Rang 2 haben?
Was ist aber an dieser Stelle [mm] \bruch{d f(x,y)}{dx} [/mm] oder [mm] \bruch{d f(x,y)}{dy}??
[/mm]
Wäre echt nett, wenn wir mir diese Fragen beantworten könntet.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> So, und jetzt kommen meine Fragen zu dieser Aufgabe.
>
> > Sei [mm]U\subset[/mm] offen, [mm]f:U\to \IR[/mm] eine glatte Funktion. Wie
> betrachten den Graf von f,
> > [mm]S=\{(x,y,z)\in \IR | (x,y)\subset U, z=f(x,y) \}.[/mm]
>
> Wie kann ich mir solch einen Grafen vorstellen? Wie sieht
> der denn aus?
Das kommt natürlich auf die Funktion f an. Das ist halt eine Fläche. Jede glatte Fläche läßt sich lokal als Graph einer glatten Funktion beschreiben.
>
> > Dann gilt offensichtlich [mm]F(U)=S=S\cap[/mm] V
>
> Woher sieht man das? Also, dass F(U)=S ist??
S ist doch gerade so gebaut, dass genau das gilt.
>
> > Ferner ist F glatt und die Umkehrabbildung G ist ebenfalls
> stetig. Somit ist F: [mm]U\to[/mm] S ein Homöomorphismus. Also ist
> i) erfüllt.
>
> Wieso sagen die erst, [mm]F:U\to \IR^3[/mm] und nun ist F auf einmal
> F: [mm]U\to[/mm] S ? ist egal, ob da S oder [mm]\IR^3[/mm] steht? Oder liegt
> das daran, dass S [mm]\in \IR^3[/mm] liegt?
S ist das Bild von F im [mm] \IR^{3}[/mm]. F ist natürlich bloß ein Homöomorphismus, wenn man den Bildbereich entsprechend einschränkt.
>
> > ii) Nun überprüfen wir die Bedingung ii). Die Matrix
> [mm]D_{(x,y)}F=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \bruch{d f(x,y)}{dx} & \bruch{d f(x,y)}{dy} }[/mm]
>
> > hat für jedes [mm](x,y)\in[/mm] U Rang 2.
>
> Rang 2 doch daher, weil immer gilt Zeilenrang=Spaltenrang?
> Und da hier der Spalten Rang 2 ist, muss die Matrix Rang 2
> haben?
Ja.
>
> Was ist aber an dieser Stelle [mm]\bruch{d f(x,y)}{dx}[/mm] oder
> [mm]\bruch{d f(x,y)}{dy}??[/mm]
Das sind natürlich die partiellen Ableitungen von f. Dass die Matrix vollen Rang hat hängt aber nicht von diesen ab.
Man will ja gerade zeigen, dass der Graph jeder glattn Funktion eine regulätre Fläche ist.
>
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> Wäre echt nett, wenn wir mir diese Fragen beantworten
> könntet.
>
> Grüße
Viele Grüße,
Berieux
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hi nochmal.
> >Sei $ [mm] U\subset [/mm] $ offen, $ [mm] f:U\to \IR [/mm] $ eine glatte Funktion. Wir betrachten den Graf von f, [mm] S=\{(x,y,z)\in \IR | (x,y)\subset U, z=f(x,y) \}. [/mm]
> >Wie kann ich mir solch einen Grafen vorstellen? Wie sieht der denn aus?
> Das kommt natürlich auf die Funktion f an. Das ist halt eine Fläche. Jede glatte Fläche läßt sich lokal als Graph einer glatten Funktion beschreiben.
ok, ich könnte ja f wie folgt definieren: [mm] f(x,y)=x^2+y^2
[/mm]
Und nun, wie kann ich mir sowas vorstellen? Also [mm] S=\{(x,y,z)\in \IR | (x,y)\subset U, x^2+y^2 \}
[/mm]
Und dann nochmal zu der Matrix.
> [mm] D_{(x,y)}F=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \bruch{d f(x,y)}{dx} & \bruch{d f(x,y)}{dy} }
[/mm]
Wenn ich mir das jetzt mit der Funktion [mm] f(x,y)=x^2+y^2 [/mm] vorstelle, dann habe ich ja
[mm] D_{(x,y)}F=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2x & 2y }
[/mm]
oder??
Wie berechne ich jetzt den Rang 2?? Einfach Zeile 2 z.B. mal -2x nehmen und dann zur 3. addieren?
Danke schon mal für die Hilfe.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:12 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi.
> hi nochmal.
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> > >Sei [mm]U\subset[/mm] offen, [mm]f:U\to \IR[/mm] eine glatte Funktion. Wir
> betrachten den Graf von f, [mm]S=\{(x,y,z)\in \IR | (x,y)\subset U, z=f(x,y) \}.[/mm]
>
> > >Wie kann ich mir solch einen Grafen vorstellen? Wie sieht
> der denn aus?
>
> > Das kommt natürlich auf die Funktion f an. Das ist halt
> eine Fläche. Jede glatte Fläche läßt sich lokal als
> Graph einer glatten Funktion beschreiben.
>
>
> ok, ich könnte ja f wie folgt definieren: [mm]f(x,y)=x^2+y^2[/mm]
>
> Und nun, wie kann ich mir sowas vorstellen? Also
> [mm]S=\{(x,y,z)\in \IR | (x,y)\subset U, x^2+y^2 \}[/mm]
Das ist ein elliptisches Paraboloid siehe hier.
>
>
> Und dann nochmal zu der Matrix.
>
> > [mm]D_{(x,y)}F=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \bruch{d f(x,y)}{dx} & \bruch{d f(x,y)}{dy} }[/mm]
>
> Wenn ich mir das jetzt mit der Funktion [mm]f(x,y)=x^2+y^2[/mm]
> vorstelle, dann habe ich ja
>
> [mm]D_{(x,y)}F=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2x & 2y }[/mm]
>
> oder??
ja.
>
> Wie berechne ich jetzt den Rang 2?? Einfach Zeile 2 z.B.
> mal -2x nehmen und dann zur 3. addieren?
Was willst du denn da noch berechnen? Der Rang ist offensichtlich = 2. Da brauchst du die letzte Zeile gar nicht betrachten.
>
>
> Danke schon mal für die Hilfe.
>
> Grüße
>
>
Grüße.
Berieux
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