Regularität/g(t) berechnen < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:14 So 06.02.2011 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten dreier Funktionen f, g, h und inspizieren Sie die entsprechenden Folgen!
a) Gegeben ist die periodische Funktion
[mm] f(t)=\begin{cases} 3, & \mbox{wenn } 0
[mm] \{ f(t+2)=f(t) \forall t \in \IR \}
[/mm]
Berechne die Fourierkoeffizienten
[mm] a_k=:\bruch{2}{2}\integral_{0}^{2}{f(t)cos(k*\omega*t) dt}
[/mm]
[mm] b_k=:\bruch{2}{2}\integral_{0}^{2}{f(t)sin(k*\omega*t) dt}
[/mm]
Die Kreisfrequenz [mm] \omega [/mm] ist wie üblich definiert:
[mm] \omega=:\bruch{2\pi}{T}
[/mm]
b) Gegeben ist die periodische Funktion
[mm] g(t)=:\integral_{0}^{t}{f(s) ds} [/mm] - [mm] \bruch{t}{2}*\integral_{0}^{2}{f(s) ds} [/mm] |
Hallo an Alle Helfer im MatheRaum,
ich habe die Aufgabe nicht komplett aufgeführt (Aufgabenteil c und die einzelnen weiteren gegebenen Fourierkoeffizienten etc.) da meine Frage sich auf eine einzige Berechnung reduziert :)
Also ich habe natürlich erst [mm] a_{0} [/mm] ausgerechnet:
[mm] a_0=\integral_{0}^{2}{f(t)cos(0*\omega*t) dt}
[/mm]
[mm] a_0=\integral_{0}^{2}{f(t)*1 dt}=\integral_{0}^{2}{f(t) dt}=3
[/mm]
Also [mm] f(t)=\bruch{3}{2}
[/mm]
Bei [mm] a_{k} [/mm] kam ich dann auf 0 und
[mm] b_{k}=\bruch{6*sin^2(\pi*k)}{\pi*k}
[/mm]
Also
[mm] f(t)=\bruch{3}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{6*sin^2(\pi*k)}{\pi*k}*sin(k*\pi*t)
[/mm]
Davon jetzt mal ganz unabhängig ob die Ergebnisse so richtig sind oder nicht kommt jetzt meine Frage:
Ich soll nun g(t) berechnen!
In der Demo bei uns wir das wie folgt getan:
[mm] g(t)=:\integral_{0}^{t}{f(s) ds} [/mm] - [mm] \bruch{t}{2}*\integral_{0}^{2}{f(s) ds}
[/mm]
[mm] g(t)=Y(t)t-\bruch{t}{2}*\integral_{0}^{2}{f(s) ds} [/mm] (in meinem Fall wäre das hintere Integral dann [mm] \bruch{3t}{2})
[/mm]
Also erhalte ich:
[mm] g(t)=Y(t)t-\bruch{3t}{2}
[/mm]
Y bezeichnet hier die Heaviside Funktion.
Nun konkret meine Frage: berechne ich g(t) immer mit der Heaviside-Funktion (für das erste Integral) oder war das in der Demo nur nötig, da dort das Integral
[mm] \integral_{-1}^{t}{f(s) ds}
[/mm]
war?
Und dann meine nächste Frage, die damit ja zusammenhängt: da ich ja das Integral
[mm] \integral_{0}^{t}{f(s) ds}
[/mm]
berechnen muss, wäre dann für mich [mm] g(t)=\bruch{3t}{2}-\bruch{3t}{2}=0?
[/mm]
Das kann ja nicht stimmen!!
Das ist eigentlich meine einzige Frage! Denn das "f(s)" bezieht sich ja auf meine Funktion aus Aufgabe a, nur dass ich quasi (blöd ausgedrückt) das Integral dann ausrechne mit [mm] \bruch{3s}{2} [/mm] und dann t einsetze (und 0, aber das kann ich mir ja dann sparen).
Ich muss also um nicht g(t)=0 zu erhalten mit der Heaviside-Funktion rechnen.
Aber wie mache ich das jetzt explizit für meinen Fall?
Die Heaviside definiert sich doch wie folgt:
[mm] H(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t <0 \\ 1, & \mbox{für } t \ge 0 \end{cases}
[/mm]
Da ja mein t laut Definitionsbereich aus der Aufgabenstellung nur zwischen 0 und 2 ist, setze ich dann also 1 ein und erhalte
[mm] g(t)=\bruch{3}{2}-\bruch{3t}{2}
[/mm]
Ist das richtig oder hab ich was komplett falsch gemacht??
Danke schon mal für Eure Hilfe!! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 09.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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