Reihe-Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Man studiere die Konvergenz sowie die absolute Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} cos((n+1)\pi)*\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}} [/mm] |
HAllo!
helft mir bitte bei diesem Bsp.
ich würde mal sagen, dass das eine alternierende Reihe ist, wegen dem cos, oder?
ich habe mir dann mal den zweiten term mit dem bruch angeschaut, und zwar mittels des Quotientenkriteriums und komme dann auf folgendes:
[mm] \bruch{\bruch{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+3}}}{\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}}
[/mm]
doppelbruch aufgelöst komme ich dann auf
[mm] \bruch{(n+2)^{n+2}*n^{n+2}}{(n+1)^{n+3}*(n+1)^{n+1}}
[/mm]
wie mache ich aber hier nun weiter?
danke und lg
markus
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Hallo Markus,
> Man studiere die Konvergenz sowie die absolute Konvergenz
> der Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} cos((n+1)\pi)*\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}[/mm]
>
> HAllo!
> helft mir bitte bei diesem Bsp.
>
> ich würde mal sagen, dass das eine alternierende Reihe
> ist, wegen dem cos, oder?
Ja, da könnte auch [mm] $(-1)^{n+1}$ [/mm] stehen statt des Kosinusausdrucks ...
>
> ich habe mir dann mal den zweiten term mit dem bruch
> angeschaut, und zwar mittels des Quotientenkriteriums und
> komme dann auf folgendes:
>
> [mm]\bruch{\bruch{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+3}}}{\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}}[/mm]
>
> doppelbruch aufgelöst komme ich dann auf
>
> [mm]\bruch{(n+2)^{n+2}*n^{n+2}}{(n+1)^{n+3}*(n+1)^{n+1}}[/mm]
>
> wie mache ich aber hier nun weiter?
Potenzgesetze nutzen:
[mm] $=\frac{(n^2+2n)^{n+2}}{(n+1)^{2n+4}=\frac{(n^2+2n)^7n+2}}{\left[(n+1)^2\right]^{n+2}}=...$
[/mm]
So wie ich das sehe, konvergiert das gegen 1, so dass das QK keine Aussage liefert.
Prüfe doch zunächst mal, ob die Folge [mm] \left(\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}\right)$ [/mm] eine Nullfolge ist, also ob die Reihe nach Leibniz konvergiert.
Was die Untersuchung der absoluten Konvergenz angeht (die du ja mit dem QK hättest), musst du dir aber wohl was anderes überlegen (das QK liefert ja - wenn ich mich auf die Schnelle nich verechnet habe - als GW 1, bringt also keine Aussage bzgl. des Konvergenzverhaltens der Reihe)
>
> danke und lg
>
> markus
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
darf ich fragen wie du hier auf 1 kommst? ich komm rechnerisch nicht mal soweit, stehe heute irgendwie auf der leitung, sry...
lg markus
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Hallo nochmal,
> darf ich fragen wie du hier auf 1 kommst? ich komm
> rechnerisch nicht mal soweit, stehe heute irgendwie auf der
> leitung, sry...
Nun, dein umgeformter Ausdruck oben ist soweit richtig, nun gibt es stadtbekannte Potenzgesetze, die man anwenden kann:
[mm]...=\frac{(n^2+2n)^{n+2}}{(n+1)^{2n+4}}=\frac{(n^2+2n)^{n+2}}{\left[(n+1)^2\right]^{n+2}}=\left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right)^{n+2}=\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+2} \ \longrightarrow \ 1 \ \text{für} \ n\to\infty[/mm]
>
> lg markus
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Di 28.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Schachuzipus hat schon gesagt:
Zeige: $ [mm] \left(\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}\right)$ [/mm] ist eine Nullfolge.
Allerdings mußt Du für das Leibnizkriterium auch noch zeigen:
$ [mm] \left(\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}\right)$ [/mm] ist monoton.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
wie zeige ich das mit leibniz? einfach durch ausprobieren mit den verschiedenen reihengliedern? wie zeige ich dass sie monoton fallend ist?
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Hallo Markus!
Mit Ausprobieren wärst Du unendlich lange beschäftigt, um die Monotonie für alle $n_$ zu zeigen ... 
Untersuche den Ausdruck [mm] $a_{n+1}-a_n$ [/mm] bzw. [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok danke, is klar ;)
aber den leibniz muss ich ja mit ausprobieren untersuchen oder?
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Hallo nochmal,
> ok danke, is klar ;)
>
> aber den leibniz muss ich ja mit ausprobieren untersuchen
> oder?
Nein, mit nachrechnen!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
also ganz einfach den limes betrachten, und der muss 0 sein, ansonsten ist die reihe divergent oder?
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Hallo nochmal,
> also ganz einfach den limes betrachten, und der muss 0
> sein, ansonsten ist die reihe divergent oder?
Ja, aber das reicht für Leibniz nicht.
Du musst nachweisen, dass [mm] $\left(\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Schau dir doch das Kriterium mal an, wenn du unsicher bist.
Es ist durchaus gestattet, sich mal eigeninitiativ schlau zu machen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok, bin mir jetzt nicht ganz sicher, aber du meinst wahrscheinlich dass ich auch noch zeigen muss, dass
[mm] a_{n+1} \le a_n
[/mm]
ist odeR? die Absolutbeträge von den beiden gliedern mein ich natürlich ;)
lg markus
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> ok, bin mir jetzt nicht ganz sicher, aber du meinst
> wahrscheinlich dass ich auch noch zeigen muss, dass
>
> [mm]a_{n+1} \le a_n[/mm]
Ja und zwar für alle n. Als zweites musst du zeigen, dass es eine Nullfolge ist. Ich glaube, ich bin jetzt etwa der Dritte, der dir das sagt.
Damit ich wenigstens etwas Neues von mir gebe, hier schon einmal ein wenig Inspiration:
[mm] \frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}*\frac{1}{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}*\frac{1}{n}
[/mm]
Der Grenzwert des ersten Ausdrucks sollte bekannt sein...
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ja der erste ausdruck ist die e-fkt und der zweite geht gegen 0, also ist es eine nullfolge, nicht wahr?
kurz noch eine frage, ob das richtig ist:
wenn ich dann untersuche, ob
[mm] a_{n+1}\le a_n [/mm] ist
habe ich
[mm] \bruch{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+3}}\le\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}
[/mm]
mit dem nenner der gegenseite ausmultiplizieren
[mm] n^{n+2}*(n+2)^{n+2}\le(n+1)^{n+1}*(n+1)^{n+3}
[/mm]
[mm] (n^2+2n)^{n+2}\le(n+1)^{2n+4}
[/mm]
[mm] [(n+1)^2-1]^{n+2}\le[(n+1)^2]^{n+2}
[/mm]
und dann kann ich ja schon sagen dass, dass die linke seite auf keinen fall größer ist als die rechte seite und somit ist die reihe nach dem leibniz-kriterium konvergent.
vielleicht könnte das mal jemand von euch auf korrektheit untersuchen ;)
danke vielmals für eure tatkräftige unterstützung!
lg markus
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> ja der erste ausdruck ist die e-fkt und der zweite geht
> gegen 0, also ist es eine nullfolge, nicht wahr? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nicht die e-Funktion, aber der erste Ausdruck konvergiert gegen e (bleibt also insbesondere beschränkt).
>
> kurz noch eine frage, ob das richtig ist:
>
> wenn ich dann untersuche, ob
>
> [mm]a_{n+1}\le a_n[/mm] ist
>
> habe ich
>
> [mm]\bruch{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+3}}\le\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}[/mm]
>
> mit dem nenner der gegenseite ausmultiplizieren
>
> [mm]n^{n+2}*(n+2)^{n+2}\le(n+1)^{n+1}*(n+1)^{n+3}[/mm]
>
> [mm](n^2+2n)^{n+2}\le(n+1)^{2n+4}[/mm]
>
> [mm][(n+1)^2-1]^{n+2}\le[(n+1)^2]^{n+2}[/mm]
>
> und dann kann ich ja schon sagen dass, dass die linke seite
> auf keinen fall größer ist als die rechte seite und somit
> ist die reihe nach dem leibniz-kriterium konvergent.
>
> vielleicht könnte das mal jemand von euch auf korrektheit
> untersuchen ;)
>
> danke vielmals für eure tatkräftige unterstützung!
>
> lg markus
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
danke soweit, eure hilfe hier hat mir echt viel gebracht leute!
muss nun aber auch auf absolute konvergenz untersuchen, habe das mal mit dem vergleichskriterium gemacht, da das quotientenkriterium ja fehlgeschlagen ist.
das kriterium besagt
der betrag von [mm] a_n \le b_n
[/mm]
das heisst ich muss ein [mm] b_n [/mm] (also eine konvergente majorante finden. finde ich so eine, ist [mm] a_n [/mm] absolut konvergent, nicht wahr?
da ich von [mm] a_n [/mm] den betrag benötige, kann ich ja den cosinus-teil aus meiner angabe weglassen und suche mir nur zu dem zweiten term
[mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}
[/mm]
eine konvergente majorante.
hab hier für [mm] b_n [/mm] also
[mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}}
[/mm]
hab also die potenz des nenners um eins verkleinert, hoffe das ist hierfür in ordnung.
das kann ich dann umschreiben in [mm] (\bruch{n+1}{n})^{n+1} [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1}
[/mm]
und der grenzwert ist ja hier die e-funktion. also habe ich eine konvergente majorante gefunden und kann daher sagen dass meine Reihe absolut konvergent.
wäre toll wenn jemand auch das auf korrektheit überprüfen könnte, damit mir sicher sein kann, alles verstanden zu haben!
vielen, vielen dank und lg
markus
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Hallo Markus,
> danke soweit, eure hilfe hier hat mir echt viel gebracht
> leute!
>
> muss nun aber auch auf absolute konvergenz untersuchen,
> habe das mal mit dem vergleichskriterium gemacht, da das
> quotientenkriterium ja fehlgeschlagen ist.
>
> das kriterium besagt
>
> der betrag von [mm]a_n \le b_n[/mm]
>
> das heisst ich muss ein [mm]b_n[/mm] (also eine konvergente
> majorante finden. finde ich so eine, ist [mm]a_n[/mm] absolut
> konvergent, nicht wahr?
Das wäre so, aber ob das klappt?
>
> da ich von [mm]a_n[/mm] den betrag benötige, kann ich ja den
> cosinus-teil aus meiner angabe weglassen und suche mir nur
> zu dem zweiten term
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}[/mm]
>
> eine konvergente majorante.
>
> hab hier für [mm]b_n[/mm] also
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}}[/mm]
>
> hab also die potenz des nenners um eins verkleinert, hoffe
> das ist hierfür in ordnung.
Jo, die Abschätzung stimmt!
>
> das kann ich dann umschreiben in [mm](\bruch{n+1}{n})^{n+1}[/mm] = [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> und der grenzwert ist ja hier die e-funktion.
Nein, die Zahl e !!
> also habe ich
> eine konvergente majorante gefunden und kann daher sagen
> dass meine Reihe absolut konvergent.
Nein, hier ist der Haken, es konvergiert zwar die Folge $\left(1+1/n)^{n+1}$ gegen e, aber die zugeh. Reihe $\sum\left(1+1/n\right)^{n+1}$ divergiert doch nach dem Trivialkriterium.
Die Folge der Reihenglieder muss doch in jedem Falle eine Nullfolge sein, sonst kann die zugeh. Reihe nicht konvergieren.
Du hast also gegen eine divergente Majorante abgeschätzt - das bringt dir wenig bis nix (außer der Übung im Abschätzen)
>
> wäre toll wenn jemand auch das auf korrektheit
> überprüfen könnte, damit mir sicher sein kann, alles
> verstanden zu haben!
Überlege erstmal, ob du Konvergenz oder Divergenz nachweisen willst ...
> vielen, vielen dank und lg
>
> markus
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
> Hallo Markus,
>
> > danke soweit, eure hilfe hier hat mir echt viel gebracht
> > leute!
> >
> > muss nun aber auch auf absolute konvergenz untersuchen,
> > habe das mal mit dem vergleichskriterium gemacht, da das
> > quotientenkriterium ja fehlgeschlagen ist.
> >
> > das kriterium besagt
> >
> > der betrag von [mm]a_n \le b_n[/mm]
> >
> > das heisst ich muss ein [mm]b_n[/mm] (also eine konvergente
> > majorante finden. finde ich so eine, ist [mm]a_n[/mm] absolut
> > konvergent, nicht wahr?
>
> Das wäre so, aber ob das klappt?
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> >
> > da ich von [mm]a_n[/mm] den betrag benötige, kann ich ja den
> > cosinus-teil aus meiner angabe weglassen und suche mir nur
> > zu dem zweiten term
> >
> > [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}[/mm]
> >
> > eine konvergente majorante.
> >
> > hab hier für [mm]b_n[/mm] also
> >
> > [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}}[/mm]
> >
> > hab also die potenz des nenners um eins verkleinert, hoffe
> > das ist hierfür in ordnung.
>
> Jo, die Abschätzung stimmt!
>
> >
> > das kann ich dann umschreiben in [mm](\bruch{n+1}{n})^{n+1}[/mm] =
> [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1}[/mm]
> >
> > und der grenzwert ist ja hier die e-funktion.
>
> Nein, die Zahl e !!
>
> > also habe ich
> > eine konvergente majorante gefunden und kann daher sagen
> > dass meine Reihe absolut konvergent.
>
> Nein, hier ist der Haken, es konvergiert zwar die Folge
> [mm]\left(1+1/n)^{n+1}[/mm] gegen e, aber die zugeh. Reihe
> [mm]\sum\left(1+1/n\right)^{n+1}[/mm] divergiert doch nach dem
> Trivialkriterium.
>
Das muss mir bitte jemand erklären, da blick ich nicht durch! was meint man mit trivialkriterium?
> Die Folge der Reihenglieder muss doch in jedem Falle eine
> Nullfolge sein, sonst kann die zugeh. Reihe nicht
> konvergieren.
>
> Du hast also gegen eine divergente Majorante abgeschätzt -
> das bringt dir wenig bis nix (außer der Übung im
> Abschätzen)
>
> >
> > wäre toll wenn jemand auch das auf korrektheit
> > überprüfen könnte, damit mir sicher sein kann, alles
> > verstanden zu haben!
>
> Überlege erstmal, ob du Konvergenz oder Divergenz
> nachweisen willst ...
>
> > vielen, vielen dank und lg
> >
> > markus
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
gruß
mark
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Hi mark,
> Das muss mir bitte jemand erklären, da blick ich nicht
> durch! was meint man mit trivialkriterium?
Eine Reihe [mm] \sum_{i=1}^\infty a_n [/mm] kann nur dann konvergent/ absolut konvergent sein, wenn die assoziierte Folge [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist.
Das meint man mit den Trivialkriterium.
Ist [mm] a_n [/mm] keine Nullfolge, so sieht man also sofort, dass die Reihe divergiert.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Mi 29.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok danke dir vielmals! also ist diese reihe konvergent (aufgrund des nachgewiesenen leibniz-kriteriums), aber nicht absolut konvergent, da das Quotienten- und Vergleichskriterium keinen erfolg gebracht haben.
richtig so weit?
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Hallo Markus,
> ok danke dir vielmals! also ist diese reihe konvergent
> (aufgrund des nachgewiesenen leibniz-kriteriums), aber
> nicht absolut konvergent, da das Quotienten- und
> Vergleichskriterium keinen erfolg gebracht haben.
Das Quotientenkriterium lieferte doch [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$ [/mm] mit [mm] $a_n=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}$
[/mm]
Dh. es hilft dir nix im Hinblick auf eine Entscheidung über absolute Konvergenz oder Divergenz der Reihe.
Erst das Vergleichskriterium lieferte mit der Abschätzung gegen eine harmonische Reihe als divergenter Minorante, dass die Ausgangsreihe nicht absolut konvergent ist.
Von daher verstehe ich nicht recht, was du mit "haben keinen Erfolg gebracht" meinst ...
>
> richtig so weit?
Komisch formuliert, aber was die Konvergenzaussage angeht richtig!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Mi 29.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ja komisch formutliert, hast du recht.... ich meinte so: ich wollte ja von vornherein (fälschlicherweise) absolute konvergenz nachweisen - nicht widerlegen - und darum meinte ich "keinen erfolg" gebracht...
im prinzip war es schon erfolgreich, weil es ja das widerlegt hat, was ich eigentlich beweisen wollte ;)
vielen dank für eure hilfe leute, ihr seid echt super!
hab noch kurz eine allgemeine frage zu grenzwerten, da ich gerade eine folge behandle in der so ein term vorkommt:
steigt die e-funktion [mm] e^{n} [/mm] stärker an als jede beliebige potenz von n, also zB [mm] n^{10} [/mm] ?
ich denke schon, bin mir aber nicht sicher... :/
dank und lg
markus
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Hallo Markus,
> vielen dank für eure hilfe leute, ihr seid echt super!
Ich habe zwar keinen Handschlag dazu getan, aber es ist nett, dass Du Dich bedankst. Tun leider nicht alle...
> hab noch kurz eine allgemeine frage zu grenzwerten, da ich
> gerade eine folge behandle in der so ein term vorkommt:
>
> steigt die e-funktion [mm]e^{n}[/mm] stärker an als jede beliebige
> potenz von n, also zB [mm]n^{10}[/mm] ?
>
> ich denke schon, bin mir aber nicht sicher... :/
Ja, das ist so.
Du kennst doch sicher die Debatte P=NP?, eines der großen ungelösten Probleme. [mm] e^n [/mm] steigt nicht-polynomial an, eben exponentiell, und "überholt" jede beliebige (aber feste) Potenz von n irgendwann.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Mi 29.06.2011 | | Autor: | mwieland |
danke dir nun auf für deinen beitrag!
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Hallo nochmal,
> hab noch kurz eine allgemeine frage zu grenzwerten, da ich
> gerade eine folge behandle in der so ein term vorkommt:
>
> steigt die e-funktion [mm]e^{n}[/mm] stärker an als jede beliebige
> potenz von n, also zB [mm]n^{10}[/mm] ?
>
> ich denke schon, bin mir aber nicht sicher... :/
Das kannst du nach reverends Antowrt nun sein
Klarmachen kannst du dir dass, wenn du den Quotienten [mm]\frac{e^n}{n^k}[/mm] anschaust. ([mm]k\in\IN[/mm] fest)
Der müsste ja dann gegen [mm]\infty[/mm] abhauen für [mm]n\to\infty[/mm]
Das kannst du aber zB. leicht zeigen, indem du [mm]k[/mm]-mal die Regel von de l'Hôpital anwendest.
Dann hast du [mm]\frac{e^n}{k!}[/mm]
Und das strebt ja für [mm]n\to\infty[/mm] ersichtlich gegen [mm]\infty[/mm], der Nenner ist ja beschränkt bzw. eine feste nat. Zahl ...
>
> dank und lg
> markus
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Mi 29.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Wer es ohne L'Hospital lieber mag (so wie ich), kann es so einsehen:
Wir setzen [mm] $a_n:= \bruch{e^n}{n^k}$ [/mm] und [mm] $b_n:= 1/a_n$
[/mm]
Dann gilt: [mm] $\wurzel[n]{b_n} \to [/mm] 1/e<1$, also ist [mm] \sum b_n [/mm] konvergent und somit ist [mm] (b_n) [/mm] eine Nullfolge.
Daher: [mm] a_n \to \infty.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Di 28.06.2011 | | Autor: | Braten |
Also ich habe mir nicht alle beiträge durchgelesen, aber hier eine konvergente Majorante zu suchen ist doch viel zu umständlich.
Die Reihe ist alternierend und offensichtlich monoton fallend.(Man sollte einfach mal den Term umformen, das dürfte kein Problem sein.)
nach Leibnizkriterium konvergiert die Reihe dann.
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Hallo Braten,
> Also ich habe mir nicht alle beiträge durchgelesen, aber
> hier eine konvergente Majorante zu suchen ist doch viel zu
> umständlich.
> Die Reihe ist alternierend und offensichtlich monoton
> fallend.(Man sollte einfach mal den Term umformen, das
> dürfte kein Problem sein.)
>
> nach Leibnizkriterium konvergiert die Reihe dann.
Das war schon geklärt, nun geht es um absolute Konvergenz!
Gruß
schachuzipus
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Hallo Markus,
> Man studiere die Konvergenz sowie die absolute Konvergenz
> der Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} cos((n+1)\pi)*\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}[/mm]
>
zur absoluten Konvergenz:
Es ist [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\cos((n+1)\pi)\cdot{}\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}[/mm]
Nun ist die Reihe so ungefähr von der Größenordnung [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n+1}}{n^{n+2}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm], also in etwa die harmonische Reihe.
Schätze also gegen eine divergente Minorante, also eine kleinere bekanntermaßen divergente Reihe ab (das wird eine harmonische Reihe werden)
Dazu kannst du sehr naheliegend den Nenner vergrößern, damit verkleinert sich der Bruch ...
[mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}} \ \ge \ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \ \ldots[/mm]
Damit hättest du absolute Konvergenz widerlegt ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Di 28.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok danke dir vielmals, der schritt zur harmonischen reihe hat mir in meinen überlegungen gefehlt, wollte daher immer absolute konvergenz beweisen...
noch kurz eine frage hierzu:
absolute konvergenz heißt, dass die reihe AUSSCHLIESSLICH gegen 0 konvergiert odeR?
vielen dank und lg
mark
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Hallo Mark(us),
> noch kurz eine frage hierzu:
>
> absolute konvergenz heißt, dass die reihe AUSSCHLIESSLICH
> gegen 0 konvergiert odeR?
Hm. Was meinst du denn mit "ausschließlich"? Eine Reihe konvergiert, wenn sie denn überhaupt konvergiert, definitionsgemäß immer nur gegen einen einzigen Wert. Nicht konvergierende Reihen (und hier übrigens auch Folgen) haben möglicherweise zwei oder mehr Häufungspunkte, aber genau dieses Verhalten wird als divergent definiert.
Vielleicht hilft Dir dieser Hinweis ja weiter und trägt dazu bei, die Frage noch einmal haltbarer zu formulieren...
Grüße
rev
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mi 29.06.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Man studiere die Konvergenz und absolute Konvergenz dieser reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}} [/mm] |
Hallo Leute!
Ich habe hier mal mit den von euch erworbenen Kenntnissen eine andere reihe durchgerechnet, ich hoffe das stimmt soweit, ansonsten bitte ich euch es mir nochmals zu erklären!
Ich habe hier mal vermutet, dass diese Reihe divergent sei, also suchte ich mit eine divergente Minorante. Da es ja nur um den Absolutbetrag geht, habe ich den ersten Term weggelassen, und nur mit dem Bruchterm gerechnet, ich hoffe, das ist so in Ordnung.
ich habe da dann mal
[mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}} \ge \bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+4}}
[/mm]
das muss ja kleiner sein, weil der nenner größer ist.
ich habe das dann jeweils mit dem nenner der anderen Seite multipliziert und vereinfacht und habe dann da stehen
[mm] (n^2+n)^{2n+4} \ge (n^2+n)^{2n+2}
[/mm]
was nochmal bestätigt, dass die rechte Seite kleiner ist.
ich habe dann den limes der rechten Seite, also meiner divergenten Minorante angekuckt und habe
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (n^2+n)^{2n+2} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
dh meine minorante ist divergent --> meine reihe ist divergent!
ist das richtig soweit?
dank und lg markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Mi 29.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Man studiere die Konvergenz und absolute Konvergenz dieser
> reihe:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}[/mm]
>
> Hallo Leute!
>
> Ich habe hier mal mit den von euch erworbenen Kenntnissen
> eine andere reihe durchgerechnet,
Worin unterscheidet sich denn obige Reihe von
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} cos((n+1)\pi)\cdot{}\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}} [/mm] $
??????
FRED
> ich hoffe das stimmt
> soweit, ansonsten bitte ich euch es mir nochmals zu
> erklären!
>
> Ich habe hier mal vermutet, dass diese Reihe divergent sei,
> also suchte ich mit eine divergente Minorante. Da es ja nur
> um den Absolutbetrag geht, habe ich den ersten Term
> weggelassen, und nur mit dem Bruchterm gerechnet, ich
> hoffe, das ist so in Ordnung.
>
> ich habe da dann mal
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}} \ge \bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+4}}[/mm]
>
> das muss ja kleiner sein, weil der nenner größer ist.
>
> ich habe das dann jeweils mit dem nenner der anderen Seite
> multipliziert und vereinfacht und habe dann da stehen
>
> [mm](n^2+n)^{2n+4} \ge (n^2+n)^{2n+2}[/mm]
>
> was nochmal bestätigt, dass die rechte Seite kleiner ist.
>
> ich habe dann den limes der rechten Seite, also meiner
> divergenten Minorante angekuckt und habe
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (n^2+n)^{2n+2}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
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> dh meine minorante ist divergent --> meine reihe ist
> divergent!
>
> ist das richtig soweit?
>
> dank und lg markus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mi 29.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok sry, hast du recht, hab ich nicht gesehen, hab das bsp von einer anderen klausur runter, is zufällig ziemlich dasselbe, tut mir leid!
was ich aber noch nicht ganz verstanden habe:
in meinem Skropt steht, wenn ich zu einer Reihe mit dem Vergleichskriterium eine divergente Minorante finde, dann ist die Reihe divergent. gilt dies nicht für alternierende reihen oder wie is das zu verstehen?
lg markus
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Hallo nochmal,
> ok sry, hast du recht, hab ich nicht gesehen, hab das bsp
> von einer anderen klausur runter, is zufällig ziemlich
> dasselbe, tut mir leid!
Naja, die Reihe, die du eingetippt hast, steht so sicher nicht auf dem Klausurblatt ...
>
> was ich aber noch nicht ganz verstanden habe:
>
> in meinem Skropt steht, wenn ich zu einer Reihe mit dem
> Vergleichskriterium eine divergente Minorante finde, dann
> ist die Reihe divergent. gilt dies nicht für alternierende
> reihen oder wie is das zu verstehen?
Du solltest dir das Vergleichskriterium mal anschauen ...
Hier zum Majorantenkrit.:
http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium
Siehe auch die Bem. zum Minorantenkrit.
Lies das durch und alle Unklarheiten werden beseitigt sein ...
>
> lg markus
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mi 29.06.2011 | | Autor: | mwieland |
danke dir vielmals für deine hilfe!
wieso sollte diese Reihe nicht so auf dem Klausurblatt stehen?
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Hallo nochmal,
> danke dir vielmals für deine hilfe!
>
> wieso sollte diese Reihe nicht so auf dem Klausurblatt
> stehen?
Du hast geschrieben (ich kopiere):
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\cdot{}\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}} [/mm]
Der erste Summand ist also [mm]\frac{1}{0}[/mm] ...
Hmmm, sehr interessant ...
Geht es nicht doch eher bei [mm]n=1[/mm] los?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Mi 29.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok, ich denke die kriterien habe ich verstanden, ich sehe nur den fehler in meiner rechnung nicht!!
die reihe konvergiert doch nach dem leibniz-kriterium, und nach dem minorantenkriterium ist sie divergent??!!
oder bin ihc einfach nur zu blöd um da durchzublicken, kann auch sein...
bitte um hilfe,
danke markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Mi 29.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die ALTERNIERENDE Reihe konv. nach leibniz, die absolute divergiert.
Gruss leduart
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