Reihe- Konvergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Mi 05.01.2011 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+(-1)^n}{2^{n-1}}
[/mm]
auf Konvergenz. Bestimmen Sie ggf. den Grenzwert. |
Hi,
ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht recht weiter.
Wenn man die Konvergenz gezeigt hat, darf man die Summe ja aufteilen, bekommt zwei geometrische Reihen und einen Grenzwert von 9 1/3.
Leider schaff ichs aber nicht die Konvergenz zu zeigen.
Man könnte abschätzen :
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+(-1)^n}{2^{n-1}} \le \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3}{2^{n-1}}, [/mm] aber ich weis auch hier nicht wie ich konkret die Konvergenz zeigen kann. Kann man irgendwie zeigen, dass die Partialsummen eine Cauchyfolge geben?
Vielen Dank für eure Mühe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Mi 05.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch schon richtig durch eine beinahe geom Reihe abgeschätzt, deren Summe du sogar hinschreiben kannst?
Gruss leduart
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Huhu,
> Wenn man die Konvergenz gezeigt hat, darf man die Summe ja
> aufteilen, bekommt zwei geometrische Reihen und einen
> Grenzwert von 9 1/3.
du kannst das Pferd doch auch von hinten aufzäumen.
Du weißt, die Einzelsummen konvergieren, also doch auch die Gesamtsumme!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mi 05.01.2011 | | Autor: | UNR8D |
Danke für eure Antworten
>>du hast doch schon richtig durch eine beinahe geom Reihe abgeschätzt, deren Summe du sogar hinschreiben kannst? <<
Du meinst mit [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3}{2^{n-1}} [/mm] = 6* [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{2})^n [/mm] = 12 ?
>>du kannst das Pferd doch auch von hinten aufzäumen.
Du weißt, die Einzelsummen konvergieren, also doch auch die Gesamtsumme!<<
Darf ich denn [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+(-1)^n}{2^{n-1}} [/mm] auseinanderziehen zu [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{2^{n-1}} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch {(-1)^n}{2^{n-1}} [/mm] ohne zu wissen, dass die Reihe konvergiert?
Dachte, dass ich sone Summe nicht auseinanderziehen darf, wenn ich nicht weis, dass sie nicht divergent ist und hab mich heute in der Uni auch bestätigt gefühlt. Deswegen bin ich unsicher was ich mit den Dingern machen darf bevor ich gezeigt habe, dass sie konvergieren. Darf ich die Summe wirklich aufteilen, den Grenzwert berechnen und daraus schließen dass auch die Ausgangssumme wirklich konvergiert?
Hab leider nicht gefunden wie ich Zitate von verschiedenen Leuten einbaue.
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Hallo UNR8D,
> Danke für eure Antworten
>
> >>du hast doch schon richtig durch eine beinahe geom Reihe
> abgeschätzt, deren Summe du sogar hinschreiben kannst? <<
>
> Du meinst mit [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3}{2^{n-1}}[/mm] = 6* [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{2})^n[/mm] = 12 ?
Ja, das ist eine obere Schranke für den Wert deiner Ausgangsreihe
>
> >>du kannst das Pferd doch auch von hinten aufzäumen.
> Du weißt, die Einzelsummen konvergieren, also doch auch
> die Gesamtsumme!<<
>
> Darf ich denn [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+(-1)^n}{2^{n-1}}[/mm]
> auseinanderziehen zu [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{2^{n-1}}[/mm] + [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch {(-1)^n}{2^{n-1}}[/mm] ohne zu
> wissen, dass die Reihe konvergiert?
Du darfst es machen, weil die beiden "Teilreihen" konvergieren.
Damit konvergiert auch die Summe (also deine Ausgangsreihe) und das gegen die Summe der beiden "Teilreihen"werte.
>
> Dachte, dass ich sone Summe nicht auseinanderziehen darf,
> wenn ich nicht weis, dass sie nicht divergent ist und hab
> mich heute in der Uni auch bestätigt gefühlt. Deswegen
> bin ich unsicher was ich mit den Dingern machen darf bevor
> ich gezeigt habe, dass sie konvergieren. Darf ich die Summe
> wirklich aufteilen, den Grenzwert die Grenzwerte der beiden "Teilreihen" berechnen und daraus
> schließen dass auch die Ausgangssumme wirklich
> konvergiert?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es ist doch wie mit den Rechenregeln für konvergente Folgen ....
Da zäumst du das Pferd doch auch oftmals von hinten auf.
>
> Hab leider nicht gefunden wie ich Zitate von verschiedenen
> Leuten einbaue.
Du kannst immer nur aus dem post zitieren, zu dem du gerade eine Frage/Mitteilung schreibst ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Mi 05.01.2011 | | Autor: | UNR8D |
Ok, vielen Dank für eure Hilfe, hat mir sehr geholfen :)
wünsch euch nen schönen Abend,
lg UNR8D
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