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Hallo,
gegeben ist folgendes:
1 + [mm] \bruch{3}{2*3} [/mm] + [mm] \bruch{3^2}{2^2*5} [/mm] + [mm] \bruch{3^3}{2^3*7} [/mm] + ..
Ich habe das Muster herausgefunden, es ist das gleiche wie:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3^n}{2^n(2n+1)}
[/mm]
(Der Ausdruck in der Reihe sei die Folge [mm] a_n, [/mm] die Bezeichnung, brauche ich für das Wurzelkriterium. )
Die Frage ist jetzt, ob die Reihe konvergiert oder nicht.
Ich dachte zuerst an das Wurzelkriterium und habe es auch benutzt mit [mm] \wurzel[n]{| a_n | }
[/mm]
Da [mm] a_n [/mm] sowieso immer positiv ist, brauche ich den Betrag nicht.
Also:
[mm] \wurzel[n]{\bruch{3^n}{2^n(2n+1)}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\bruch{3^n}{2^n} * \bruch{1}{2n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] * [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{2n+1}}
[/mm]
Für n gegen unendlich konvergiert doch das ganze gegen 0, aber laut Wolframalpha ist diese Reihe divergent. Wo ist mein Fehler?
Vielen Dank im Voraus.
EDIT: Ich sehe gerade, 3/2 ist klar, aber wir ziehen die n-te Wurzel aus einem Ausdruck, der doppelt so groß ist wie n , nämlich 2n, also wird die Diskriminante immer größer und deswegen ist das ganze divergent. Ist das richtig?
EDIT2: Das Wurzelkriterium angewandt bedeutet, es konvergiert, wenn der Grenzwert <1 ist, hier ist es aber >1 , also divergent.
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Hallo,
Dein 'Edit2' trifft die Sache. Mit [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] -> 1 für n-> [mm] \infty [/mm] sollte das klar gehen.
Viel einfacher wäre es hier, eine divergente Minorante zu finden. Die harmonische Reihe wäre eine solche Minorante, und das musst du jetzt nur noch ein kleines Stück weiterdenken
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 So 22.01.2017 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
danke für die Antwort.
Ja, das mit der harmonischen Reihe finde ich eigentlich auch besser.
Lieben Dank.
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