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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Fr 27.07.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo,
ich hätte da noch eine ähnliche Frage wie die erste.
Wie kommt man auf folgende Gleichheiten:
[mm] \summe_{k=2}^{n} [/mm] (ln*k - ln*(k-1)) = ln*n - ln*1
und
[mm] \summe_{k=2}^{n} [/mm] (ln*(k+1) - ln*k) = ln*(n+1) - ln*2
Könntet ihr mir das bitte auch kurz erklären.
Gruß, Steffy
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> Hallo,
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> ich hätte da noch eine ähnliche Frage wie die erste.
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> Wie kommt man auf folgende Gleichheiten:
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> [mm]\summe_{k=2}^{n}[/mm] (ln*k - ln*(k-1)) = ln*n - ln*1
>
> und
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> [mm]\summe_{k=2}^{n}[/mm] (ln*(k+1) - ln*k) = ln*(n+1) - ln*2
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Ist dies wirklich $ln*(k+1)-ln*k$ oder nicht vielmehr [mm] $\ln(k+1)-\ln(k)$ [/mm] (d.h. die Differenz von natürlichen Logarithmen)? Multiplikation ist ja entschieden nicht das selbe wie Funktionsanwendung.
> Könntet ihr mir das bitte auch kurz erklären.
Ich nehme einmal an, dass natürliche Logarithmen gemeint sind:
[mm]\sum_{k=2}^{n}\big(\ln(k) - \ln(k-1)\big) = \big(\red{\ln(2)}\blue{-\ln(1)}\big)+\big(\ln(3)\red{-\ln(2)})+\cdots +\big(\red{\ln(n-1)}-\ln(n-2)\big)+\big(\blue{\ln(n)}\red{-\ln(n-1)}\big) = \blue{\ln(n)-\ln(1)}[/mm]
Wieder heben sich die rot markierten Teile aufeinanderfolgender Summanden auf. Insgesamt bleiben deshalb nur die beiden blau markierten Terme übrig.
Ob in Deiner Fragestellung $ln$ den natürlichen Logarithmus oder eine blosse Konstante bedeutet, spielt für die obige Vereinfachung der Summe eigentlich keine Rolle. Nur liesse sich der Logarithmus [mm] $\ln(1)$ [/mm] natürlich noch zu $0$ vereinfachen, d.h. die Summe wäre dann sogar [mm] $=\ln(n)$.
[/mm]
Ganz analog verläuft die Vereinfachung bei Deinem zweiten Beispiel:
[mm]\sum_{k=2}^{n}\big(\ln(k+1) - \ln(k)\big) = \big(\red{\ln(3)}\blue{-\ln(2)}\big)+\big(\ln(4)\red{-\ln(3)})+\cdots +\big(\red{\ln(n)}-\ln(n-1)\big)+\big(\blue{\ln(n+1)}\red{-\ln(n)}\big) = \blue{\ln(n+1)-\ln(2)}[/mm]
Und natürlich könnte man diese Vereinfachungen auch ohne "Pünktchen", nur durch Zerlegen der Summe in zwei Summen, Indexverschiebung und Abspalten des ersten bzw. letzten Gliedes der beiden Teilsummen erhalten.
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