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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
hätte ne frage zu folgenden beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
hab das mal mit dem quotientenkriterium probiert aber komm da nicht so richtig auf was :( wäre dankbar für einen tipp.
danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Mi 12.12.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
versuche es im Fall a) doch einmal mit dem Leibnizkriterium.
Bei b) handelt es sich um eine Teleskopsumme.
Das heißt für c)
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}|\bruch{1}{5n-2}-\bruch{1}{5n+3}|
[/mm]
Wenn du den Tipp befolgst und die ersten Terme aufschreibst:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}|\bruch{1}{5n-2}-\bruch{1}{5n+3}|=\bruch{1}{8}-\bruch{1}{13}+\bruch{1}{13}-\bruch{1}{18}+\bruch{1}{18}-\bruch{1}{23}+...
[/mm]
Du siehst, wenn du die ersten Terme betrachtest, dass viele wegfallen - bis auf den ersten Term. Der letzte Term wird auch nicht wegfallen. Das heißt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{8}-\bruch{1}{5n+3}=\bruch{1}{8}-\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{5n+3}\to\bruch{1}{8}
[/mm]
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
danke! a unc hab ich jetzt am :)
zu b) nur bei der teleskopsumme weiß ich leider nicht was du gemeint hast, muss ich da das [mm] a_n [/mm] irgendwie umschreiben? habe da im skriptum nichts darüber gefunden.
danke!
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Hallo Dagobert,
der Reihenwert ist der Grenzwert der Partialsummen, also
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{n=0}^{k}a_n}_{=S_k}$
[/mm]
Hier hast du, wenn du solch eine $k-te$ Partialsumme mal aufschreibst, eine schöne Teleskopsumme - wie barsch schon sagte.
Also [mm] $S_k=\sum\limits_{n=2}^{k}\left(\frac{1}{5n-2}-\frac{1}{5n+3}\right)=\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{13}-\frac{1}{18}\right)+....+\left(\frac{1}{5k-7}-\frac{1}{5k-2}\right)+\left(\frac{1}{5k-2}-\frac{1}{5k+3}\right)$
[/mm]
Wenn du genau hinschaust, heben sich in dieser Summe immer der zweite Summand einer Klammer und der erste Summand in der nächsten Klammer auf. Du kannst ja noch einige Klammern/Summanden mehr hinschreiben...
Es bleibt also nur der allererste und der allerletzte Summand übrig
Also [mm] $S_k=\frac{1}{8}-\frac{1}{5k-2}$
[/mm]
Und damit [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}S_k=\frac{1}{8}-0=\frac{1}{8}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{5n-2}-\frac{1}{5n+3}\right)$
[/mm]
Ich hoffe, es ist nun etwas klarer mit den Partialsummen und Teleskopsummen 
LG
schachuzipus
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