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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:31 Do 13.12.2007 | | Autor: | kibard |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert:
1. [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}-\bruch{1}{\wurzel{2}}}-\bruch{1}{\wurzel{2}+\bruch{1}{\wurzel{3}}}+\bruch{1}{\wurzel{3}-\bruch{1}{\wurzel{3}}}-\bruch{1}{\wurzel{3}+\bruch{1}{\wurzel{4}}}usw. [/mm] |
So, ich habe diese Reihe mal in eine allgemeinere Form gebracht:
[mm] \bruch{(-1)^{n+1}}{\wurzel{n+(-1)^{n+1}}+(-1)^n*(\bruch{1}{\wurzel{n+1}})}
[/mm]
Im Anschluss würde ich das Leibnizkriterium verwenden, aber ich weiß auch nicht so recht, wie ich den ausdruck in eine ansprechende Form bringe.
Danke für einen Tipp.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Do 13.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Also ich würde gar nicht erst versuchen eine explizite Darstellung von dem Ding aufzustellen. Du siehst ja was dabei rauskommt.
Für Leibnitz musst du zeigen, dass die zugrunde liegende Folge ohne das [mm] (-1)^n [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Da würd ich jetzt erstmal schauen, ob jeder ungerade Summand kleiner als der Vorgänger ist und danach die geraden anschauen.
Also:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{k}-\bruch{1}{\wurzel{k}}}<\bruch{1}{\wurzel{k-1}+\bruch{1}{\wurzel{k}}}
[/mm]
Da brauchst du ja nur die Nenner betrachten:
[mm] \wurzel{k}-\bruch{1}{\wurzel{k}}>\wurzel{k-1}+\bruch{1}{\wurzel{k}} [/mm] quadriiere
[mm] k-2+\bruch{1}{k}>k-1+2\wurzel{\bruch{k-1}{k}}+\bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] -1>2\wurzel{\bruch{k-1}{k}}
[/mm]
Hier stimmt irgendwas nicht.
Entweder hab ich mich verrechnet, oder das ist das Fazit, dass man das Leibnitzkriterium hier gar nicht anwenden kann.
Sorry, da bin ich echt überfragt.
Ich poste es trotzdem mal als Mitteilung.
Vielleicht kann ja jemand damit noch was anfangen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 So 16.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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