Reihe Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Mi 23.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{12k^2 - 3} [/mm] |
Wie geh ich denn bei der Grenzwertbestimmung vor:
Ich habe zunächst mal die Konvergenz geprüft:
Majorantenkriterium:
[mm] \bruch{1}{k^2} [/mm] > [mm] \bruch{1}{12k^2 - 3} [/mm] also konvergiert die Reihe.
Nur ich hab nun keine Idee wie ich auf den Grenzwert komme. Gibt es da irgendein Schema, welches man immer anwenden kann?
Vielen Dank für Hilfe
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Hallo zocca1,
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{12k^2 - 3}[/mm]
> Wie geh ich
> denn bei der Grenzwertbestimmung vor:
>
> Ich habe zunächst mal die Konvergenz geprüft:
>
> Majorantenkriterium:
>
> [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm] > [mm]\bruch{1}{12k^2 - 3}[/mm] also konvergiert die
> Reihe.
>
> Nur ich hab nun keine Idee wie ich auf den Grenzwert komme.
> Gibt es da irgendein Schema, welches man immer anwenden
> kann?
>
> Vielen Dank für Hilfe
Nun, erstmal muss der Laufindex an der Reihe k lauten, sonst ist das Ding divergent
Dann kannst du schreiben [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{12k^2-3}=\frac{1}{12}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2-\frac{1}{4}}$
[/mm]
Nun mache eine Partialbruchzerlegung:
[mm] $\frac{1}{k^2-\frac{1}{4}}=\frac{A}{k+\frac{1}{2}}+\frac{B}{k-\frac{1}{2}}$
[/mm]
Das ausrechnen und bedenken, dass [mm] $\frac{1}{12}\csot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2-3}=\frac{1}{12}\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{A}{k+\frac{1}{2}}+\frac{B}{k-\frac{1}{2}}\right)$
[/mm]
Berechne den Reihenwert also als GW der Partialsummenfolge [mm] $(S_n)_{n\in\IN}=\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\ldots\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu schachu,
die 12 auszuklammern ist äußerst ungünstig.
Besser wäre es, nur die 3 auszuklammern, da man dann mit Partialbruchzerlegung eine Teleskopsumme erhält 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mi 23.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
Ah cool danke!
Kurz zur Partialbruchzerlegung:
[mm] \frac{1}{k^2-\frac{1}{4}}=\frac{A}{k+\frac{1}{2}}+\frac{B}{k-\frac{1}{2}}
[/mm]
mit der Zuhaltemethode hätte ich doch folgendes: kürzen mit (k+(1/2))
[mm] \frac{1}{k^2-\frac{1}{4}}=A+\bruch{B(k+ 1/2)}{k - 1/2}
[/mm]
dann wäre ja mein A = 0 wenn ich k= - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] einsetzten würde.
Wo ist mein Denkfehler?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Mi 23.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ah cool danke!
>
> Kurz zur Partialbruchzerlegung:
>
> [mm]\frac{1}{k^2-\frac{1}{4}}=\frac{A}{k+\frac{1}{2}}+\frac{B}{k-\frac{1}{2}}[/mm]
>
> mit der Zuhaltemethode hätte ich doch folgendes: kürzen
> mit (k+(1/2))
>
> [mm]\frac{1}{k^2-\frac{1}{4}}=A+\bruch{B(k+ 1/2)}{k - 1/2}[/mm]
???? Wie kommst Du darauf ? Stimmen tuts nicht ! ????
FRED
>
> dann wäre ja mein A = 0 wenn ich k= - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> einsetzten würde.
>
> Wo ist mein Denkfehler?
>
> Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mi 23.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
Hmm ich muss doch immer schauen, dass eine Variable alleine dasteht.
Ist es hier nicht so, dass ich dann mit (k + (1/2)) durchmultipliziere und dann A erhalte?
Danke nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo Zocca,
> Hmm ich muss doch immer schauen, dass eine Variable alleine
> dasteht.
>
> Ist es hier nicht so, dass ich dann mit (k + (1/2))
> durchmultipliziere und dann A erhalte?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber dann ist doch A nicht "0"
LG
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Mi 23.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
Ich habs denk ich:
[mm] \bruch{1}{(k+(1/2)) * (k - (1/2))} [/mm] = [mm] \bruch{A}{k + (1/2)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{k - (1/2)}
[/mm]
wenn ich A bestimme mit (k + (1/2)):
erhalte ich:
[mm] \bruch{1}{k - (1/2)} [/mm] = A + [mm] \bruch{B(k+(1/2)}{k - (1/2)} [/mm] wenn ich nun k= -(1/2) einsetze erhalte ich:
A= -1
dasselbe für B= 1
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Hiho,
> wenn ich nun k= -(1/2) einsetze erhalte ich:
du sollst aber nix einsetzen sondern eine Lösung für ALLE k finden.
Dein Ergebnis ist zwar korrekt aber die Herangehensweise ist falsch.....
$ [mm] \bruch{1}{k - (1/2)} [/mm] $ = A + $ [mm] \bruch{B(k+(1/2)}{k - (1/2)} [/mm] $
Multipliziere nochmal mit [mm] $(k-\bruch{1}{2})$, [/mm] ordne nach k und nicht k und dann Koeffizientenvergleich!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Do 24.06.2010 | | Autor: | zocca21 |
Ich habe nun das ganze mal folgendermaßen geschrieben:
= [mm] \bruch{1}{12} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{-1}{k+(1/2)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{k-(1/2)}
[/mm]
= = [mm] \bruch{1}{12}( \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{-1}{k+(1/2)} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k-(1/2)})
[/mm]
Als Ergebnis sollte (1/6) herauskommen.
Wie komme ich hier nun weiter bei meinen Reihen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Do 24.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Du mußt mit Partialsummen arbeiten:
[mm] $S_n:= \bruch{1}{12} \summe_{k=1}^{n}( \bruch{-1}{k+(1/2)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{k-(1/2)}) [/mm] $
Das ist eine Teleskopsumme. Schreib die mal aus und Du wirst feststellen:
[mm] $S_n= \bruch{1}{12}(2-\bruch{1}{n+1/2})$
[/mm]
Also: [mm] S_n \to [/mm] 1/6 für n [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
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