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Forum "Folgen und Reihen" - Reihe Konvergenz prüfen
Reihe Konvergenz prüfen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Reihe Konvergenz prüfen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Sa 01.05.2010
Autor: zocca21

Aufgabe
Untersuchen sie die Konvergenz:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^3}{4^n} [/mm]

Habe nun mal die Quotientenregel versucht:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{((n+1)^3) / (4^n * 4)}{(n^3) / (4^n) } [/mm]

= [mm] \bruch{(n+1)^3 * 4^n} {4^n * 4 * n^3 } [/mm]

Nun haben wir ja als höchsten Grad die 3, sowohl im Zähler als auch im Nenner.
So dachte ich zuerst das Ergebnis wird = 1.

Aber im Nenner nehm ich ja immer Mal 4...so dass ja eigentlich
< 1 rauskommen müsste.

Oder lieg ich hier mit der Outientenregel schon komplett falsch..

Vielen Dank

        
Bezug
Reihe Konvergenz prüfen: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Sa 01.05.2010
Autor: Loddar

Hallo zocca!


Quotientenkriterium (nicht MBQuotientenregel, das ist was anderes!) ist schon eine gute Idee.


> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{((n+1)^3) / (4^n * 4)}{(n^3) / (4^n) }[/mm]

Zunächst hat nun das Summenzeichen hier nichts mehr verloren.


> = [mm]\bruch{(n+1)^3 * 4^n} {4^n * 4 * n^3 }[/mm]

[ok]

  
> Nun haben wir ja als höchsten Grad die 3, sowohl im
> Zähler als auch im Nenner.
>  So dachte ich zuerst das Ergebnis wird = 1.
>  
> Aber im Nenner nehm ich ja immer Mal 4...so dass ja
> eigentlich < 1 rauskommen müsste.

Na, was denn genau?
[mm] $$\bruch{(n+1)^3}{4*n^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left[n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)\right]^3}{4*n^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^3*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^3}{4*n^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^3}{4} \longrightarrow [/mm] \ ...$$

Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Reihe Konvergenz prüfen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:44 So 02.05.2010
Autor: zocca21

Vielen Dank, habs gelöst!
Bezug
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