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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Do 06.01.2005 | | Autor: | Tim |
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
hallo!
Hab mal ne frage, was die konvergenz von reihen angeht.
wieso ist denn zb:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{(k-1)!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k!})
[/mm]
= 1- [mm] \bruch{1}{n!}
[/mm]
oder (ähnlich):
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{(k-x)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-x})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n-x+1}
[/mm]
gibt es da eine summenformel für reihen? hat das was mit den partialsummen zu tun?
vielen dank für eure antworten!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Do 06.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
> wieso ist denn zb:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] ( [mm]\bruch{1}{(k-1)!}[/mm] - [mm]\bruch{1}{k!})
[/mm]
>
> = 1- [mm]\bruch{1}{n!}
[/mm]
Schau dir einfach die Definition der Reihe an, so ist zum Beispiel:
[mm] \summe_{k=1}^{2}( \bruch{1}{(k-1)!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k!})
[/mm]
= ( [mm] \bruch{1}{(1-1)!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1!}) [/mm] + ( [mm] \bruch{1}{(2-1)!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2!})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{(1-1)!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2!} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{2!}
[/mm]
oder auch einen Schritt weiter:
[mm] \summe_{k=1}^{3}( \bruch{1}{(k-1)!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k!})
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{2}( \bruch{1}{(k-1)!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k!}) [/mm] + ( [mm] \bruch{1}{(3-1)!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3!})
[/mm]
= ( [mm] \bruch{1}{(1-1)!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2!}) [/mm] + ( [mm] \bruch{1}{(3-1)!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3!})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{(1-1)!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3!} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{3!}
[/mm]
Die Aussage stimmt also für n = 2 und n = 3. Jetzt kannst du deine Aussage durch vollständige Induktion nach n beweisen (Falls du nicht weißt, wie das genau geht, geh' zu google.de). Wenn du willst, kannst du deine Ergebnisse hier posten.
> oder (ähnlich):
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] ( [mm]\bruch{1}{(k-x)}[/mm] - [mm]\bruch{1}{1-x})
[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{n-x+1}
[/mm]
Das geht nach dem gleichen Schema. Du hast hier aber einen Tippfehler gemacht: Setzt man in die obere Gleichung n = 1, so erhält man 0, unten aber nicht.
Gruß Clemens
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