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Reihen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 Di 11.12.2018
Autor: Schobbi

Aufgabe
Es sei [mm] a_{n}=\bruch{3n^2+2n-3}{2n^2-3} [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Bestimmen Sie zu [mm] \varepsilon [/mm] = 0,03 eine Zahl [mm] N(\varepsilon) [/mm] so, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] >=N(\varepsilon) [/mm] gilt: [mm] |a_{n}-\bruch{3}{2}|<=\varepsilon. [/mm]

Hallo zusammen ich hänge ein bisschen bei der Abschätzung und es wäre lieb wenn ihr mir da weiterhelfen könntet. Mein Ansatz ist der Folgende:

[mm] |\bruch{3n^2+2n-3}{2n^2-3}-\bruch{3}{2}|=\bruch{6n^2+4n-6-6n^2+9}{4n^2-6}|=|\bruch{4n+3}{4n^2-6}| [/mm]

jetzt würde ich gerne eine Abschätzung nach oben vornehmen, so dass ich den Bruch besser zusammenfassen kann. Meine Idee war:

[mm] |\bruch{4n+3}{4n^2-6}|<|\bruch{4n+3n}{4n^2-6}|=|\bruch{7n}{4n^2-6}| [/mm]

Aber wie gehe ich mit dem Nenner um, so das ich eine geeignete Abschätzung habe? Könnt dir mir da helfen? DANKE

        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 Di 11.12.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

erstmal: Die Betragsstriche kannst du weg lassen, da für $n>1$ der Ausdruck sowieso positiv ist.
Wird der Nenner kleiner, wird der Gesamtausdruck größer, d.h. es gilt für n>3:

$ [mm] \bruch{7n}{4n^2-6} \le \bruch{7n}{4n^2-n^2} [/mm] = [mm] \bruch{7}{3n}$ [/mm]

Das bekommst du nun bestimmt kleiner als 0.03 :-)

Gruß,
Gono

Bezug
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