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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Mi 05.01.2005 | | Autor: | KingMob |
Hallo!
Kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe behilflich sein?
"Man zeige : Eine Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] in [mm] \IR, [/mm] deren Glieder positiv sind und eine monoton fallende Folge bilden, ist genau dann konvergent, wenn die verdichtete Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} 2^{n} [/mm] * [mm] a_{ 2^{n} } [/mm] konvergiert."
Zunächst einmal : was bedeutet "Reihenverdichtung" und welchen Zweck hat sowas? Und vor allem, wie löst man diese Aufgabe???
Also ich bin jedem dankbar, der mir hierzu konstruktive Hilfe anbieten kann...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Mi 05.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
reihenverdichtung hat den zweck, dass man durch das weglassen von folgengliedern die aufsummiert werden - du betrachtets ja dann nur noch die folge [m] a_1, 2a_2, 4a_4, 8a_8, ... [/m] - eine einfacher zu handhabende form entsteht. ein wirklich tolles beispiel fällt mir gerade nicht ein, aber so kann man z.b. "leicht" einsehen, dass [m] \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n \ln n} [/m] divergiert. im allgemeinen kann man mit diesem kriterium recht gut logarithmen eliminieren.
den beweis zu diesem konvergenzkriterium findest du z.b. hier in diesem forum. du kannst ihn ja mal durcharbeiten und fragen, falls du etwas nicht verstehst.
grüße
andreas
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