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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Fr 07.05.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | | Konstruieren sie eine stetige funktion [mm] f:[1,\infty) \to \IR [/mm] , so dass f(x) > 0 für [mm] x\in[1,\infty), [/mm] gilt, das uneigentliche Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] divergiert und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] f(x) konvergiert. |
Mein erste idee war [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(x-1)^{2}} [/mm] wäre ja konvergent und als integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{(x-1)^{2}} dx} [/mm] wäre dann die untere SChranke nicht definiert.
aber ich glaub meine reihe müsst mit k=2 anfangen oder darf ich mit k=1 anfangen auch wenn es nict definiert ist ?
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Hallo!
Schau dir den Graphen der Funktion an. Ein Pol bei x=1, und daher nicht definierter Funktionswert (Das gilt übrigens für Reihe und Integral!)
Su sagst nun, du könntest etwas weiter rechts anfangen, bei x=2, um dem Problem aus dem Weg zu gehen. Dies ist zwar richtig, aber das ist ja nicht die Aufgabe. Du kannst genauso die Funktion nach links schieben, und landest dann bei [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] .
Allerdings... konvergiert das Integral denn NICHT?
Ich denke, die billigste Lösung wäre eine stückweise definierte Funktion, die sich für ganzzahlige x schön brav wie [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] verhält, und dazwischen beispielsweise den Funktionswert 1 annimmt. Du mußt dir nur nen netten Übergang überlegen, damit die Funktion stetig ist, mehr ist ja nicht gefordert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Fr 07.05.2010 | | Autor: | Ayame |
Tut mir leid aber ich verstehe nicht ganz wie du das meinst.
"stückweise definiert" ? und den Funkktionswert 1 dazwischen ?
Ich brauch doch eine konvergente reihe deren Grenzen im Integral
nicht definiert sind (somit wäre das Integral divergent).
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Ja moment, wovon reden wir nun?
So wie ich das verstehe, suchst du eine Funktion f(x)>0 , x>1
Und dann gibts das Integral [mm] $\int_0^\infty f(x)\,dx$ [/mm] und die Reihe [mm] $\sum_kf(\red{k})$ [/mm] oder? (Die Summe, so wie bisher geschrieben, macht ja keinen Sinn)
Bei der Summe betrachtest du nun eine Folge, die sich aus f(x) durch einsetzen ganzer Zahlen ergibt.
Das heißt, du könntest dir jetzt ne konvergenze Reihe wie [mm] \sum_k \frac{1}{k^2} [/mm] schnappen und hast damit einzelne Punkte der Funktion f(x) festgenagelt.
Damit ist aber noch lange nicht gesagt, daß die Funktion sich zwischen diesen Punkten ebenfalls brav wie [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] verhält.
Wenn du dir nicht das Hirn zermartern willst auf der Suche nach ner Funktion, die sich mal so und mal so verhält, könntest du dir ne Funktion basteln, die aus lauter kleinen Stücken zusammengesetzt ist. Also
Beispielsweise könntest du ne Zickzackkurve basteln, die für ganze Zahlen immer die Funktion [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] berührt...
Hier hab ich ein Beispiel. (Sogar nicht stückchenweise definert!) Die grüne Kurve sollte deine Bedingungen erfüllen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Fr 07.05.2010 | | Autor: | Ayame |
Das ist ja genial !
Vielen lieben Dank für die Idee :)
wünsch noch ein schönes wochenende.
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