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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Do 26.08.2010 | | Autor: | Reen1205 |
| Aufgabe | Für welche [mm] x\in \IR[/mm] konvergiert die Potenzreihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{2^{n+2}x^n}{\wurzel{n}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe blindlings die Aufgabe nicht richtig gelesen und habe nur Konvergenzradius und Intervall berechnet. nun habe ich für den Radius [mm]r=\frac{1}{2}[/mm] und für den Intervall [mm]\left\{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\}[/mm]
Habe ich dann alle x-Werte bestimmt? Also alle x-Werte zwischen [mm]\frac{-1}{2} und \frac{1}{2}[/mm]?Denn ich hatte auch mal eine ähnliche Aufgabe bei der ich einen Reihenwert bestimmen sollte, aber das schaffe ich bei dieser Aufgabe irgendwie nicht. Steht ja auch nichts in der Aufgabe selber drin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Do 26.08.2010 | | Autor: | notinX |
Hi,
> Habe ich dann alle x-Werte bestimmt?
Nein, noch nicht. Du weißt jetzt, dass die Reihe für alle [mm] $|x|<\frac{1}{2}$ [/mm] konvergiert. Das Verhalten der Reihe für die Randpunkte [mm] $x=\pm\frac{1}{2}$ [/mm] musst Du noch untersuchen
> Denn ich hatte auch
> mal eine ähnliche Aufgabe bei der ich einen Reihenwert
> bestimmen sollte, aber das schaffe ich bei dieser Aufgabe
> irgendwie nicht. Steht ja auch nichts in der Aufgabe selber
> drin.
Richtig, solange nur nach Konvergenz gefragt ist interessiert uns der Wert nicht.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Do 26.08.2010 | | Autor: | Reen1205 |
Also setze ich jetzt in die Reihe meine Randpunkte ein und benutze bspweise das Wurzelkriterium um zu sehen was mit ihnen in den Randpunkten passiert für den Fall [mm] x = \frac{1}{2}[/mm] würde die Reihe dann gegen 1 konvergieren und für [mm] x = -\frac{1}{2}[/mm] dann gegen -1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Do 26.08.2010 | | Autor: | notinX |
> Also setze ich jetzt in die Reihe meine Randpunkte ein und
> benutze bspweise das Wurzelkriterium um zu sehen was mit
> ihnen in den Randpunkten passiert
Bis hier hin richtig.
> für den Fall [mm]x = \frac{1}{2}[/mm]
> würde die Reihe dann gegen 1 konvergieren und für [mm]x = -\frac{1}{2}[/mm]
> dann gegen -1?
Wie kommst Du denn darauf?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Do 26.08.2010 | | Autor: | Reen1205 |
Ich habe dann ja die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+2}*-\frac{1}{2}^n}{\wurzel{n}[/mm] und mit dem Wurzelkriterium ist ja [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{\wurzel[n]{2^{n+2}}*\wurzel[n]{-\frac{1}{2}^n}}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
Kann ich das nicht auch schreiben als [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{\wurzel[n]{2^{n}*2^2}*\wurzel[n]{-\frac{1}{2}^n}}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
und daraus kommt im nenner dann -1 und im Zähler 1 wenn ich das gegen unendlich laufen lasse?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Do 26.08.2010 | | Autor: | notinX |
Ich glaube Du hast da was falsch verstanden. Was sagt denn das Wurzelkriterium aus? Schreib Dir mal auf (oder besser schreibs hier rein) wie der zugehörige Satz lautet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Do 26.08.2010 | | Autor: | Reen1205 |
uff, völlig auf dem falschen dampfer gewesen
[mm] \wurzel{|a_k|} < 1 [/mm] besagt, dass eine Reine konvergiert.
Also konvergiert sie für den Fall x= -1/2 und divergiert für x =1/2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Do 26.08.2010 | | Autor: | notinX |
> uff, völlig auf dem falschen dampfer gewesen
> [mm]\wurzel{|a_k|} < 1[/mm] besagt, dass eine Reine konvergiert.
Na ja, ein mathematischer Satz sieht anders aus...
>
> Also konvergiert sie für den Fall x= -1/2 und divergiert
> für x =1/2?
also wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt bei mir jeweils [mm] $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=1$ [/mm] raus. Das heißt also, dass wir keine Aussage über Konvergenz/Divergenz treffen können.
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