matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenReihen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Folgen und Reihen" - Reihen
Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Reihen: Konvergenz folgern
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Mo 06.12.2010
Autor: Big_Head78

Aufgabe
Sei [mm] (a_{n}) \subset \IR^+\backslash \{0}. [/mm] Beweisen sie folgende Behauptungen:

a) Wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] konvergiert, dann auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{a_{n}*a_{n}+1} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{a_{n}}+ \bruch{1}{a_{n+1}})^{-1} [/mm]

b) Wenn zusätzlich [mm] (a_{n}) [/mm] monoton fallend ist, dann folgt aus der Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}, [/mm] dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n*a_{n}=0 [/mm]

c) Wenn eine Folge [mm] (b_{n})\subset \IR^+\backslash \{0} [/mm] mit [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \le \bruch{b_{n+1}}{b_{n}}, [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] ex., dann folgt aus der Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_{n} [/mm] die Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] und aus der Divergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] die Divergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_{n}. [/mm]
Hinweis: Zeigen sie: [mm] (\bruch{a_{n}}{b_{n}}) [/mm] ist monoton fallend und [mm] a_{n} \le M*b_{n} [/mm] für ein M>0 und alle n [mm] \in \IN [/mm]


Ich bin noch mit a) beschäftigt, habe mir überlegt, dass mit dem Majorantenkriterium zu lösen, klappt aber nicht. Damit bekomme ich lediglich hin, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] konvergiert, wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{a_{n}*a_{n}+1} [/mm] konvergiert. Ich überlege nun, ob ich [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] nicht doch günstig verändern kann, ohne die Konvergenz zu verletzen.
Ist dieser Ansatz sinnig oder komplett falsch?

Ich habe mir jetzt überlegt:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] konvergiert [mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}2*a_{n} [/mm] konvergiert

[mm] \Rightarrow 2*a_{n} \ge \wurzel{a_{n}^2+1} \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{a_{n}*a_{n}+1} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.

        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Mo 06.12.2010
Autor: fred97

Diese Behauptung

         " Wenn $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] $ konvergiert, dann auch $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{a_{n}\cdot{}a_{n}+1} [/mm] $"

ist schlicht und einfach falsch !!!

Richtig dagegen ist:

      " Wenn $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] $ konvergiert, so ist $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{a_{n}\cdot{}a_{n}+1} [/mm] $ divergent.

Beweis. Wenn $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] $ konvergiert, so ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge. Damit gilt aber

                  [mm] \wurzel{a_{n}\cdot{}a_{n}+1} \to [/mm] 1 [mm] \ne [/mm] 0 für  n [mm] \to \infty [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:20 Mo 06.12.2010
Autor: Big_Head78

Ich sehe gerade, dass ich falsch abgeschrieben habe, ich bitte um Entschldigung.

Richtig soll es heißen:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergiert [mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{a_{n}*a_{n+1}} [/mm] konvergiert

Kann ich nicht sagen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergiert [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0 [/mm] und [mm] a_{n} [/mm] monoton fallend.

Also:
[mm] \wurzel{a_{n}*a_{n+1}} \le \wurzel{a_{n}*a_{n}}=a_{n} [/mm] und dann kann ich mit dem Majorantenkriterium argumentieren.

Stimmt das so?
Für die andere Reieh habe ich das ähnlich gemacht.



Bezug
                        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 Mo 06.12.2010
Autor: fred97

Es gilt:

        [mm] $\bruch{\wurzel{a_n*a_{n+1}}}{a_n}= \wurzel{\bruch{a_{n+1}}{a_n}}$ [/mm]

Nach dem Quotientenkriterium muß dann lim sup [mm] \wurzel{\bruch{a_{n+1}}{a_n}} \le [/mm] 1 sein

Somit gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit:  [mm] \bruch{\wurzel{a_n*a_{n+1}}}{a_n} \le [/mm] 2 für n [mm] \ge [/mm] m.

FRED

Bezug
                                
Bezug
Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 Di 07.12.2010
Autor: Big_Head78

Ich grübel jetzt seit gestern, aber leider kann ich dir hier nicht folgen...

Wie kommt man denn hier auf das Quotientenkriterium? Ich verstehe den ersten Bruch schon nocht wirklich, der Zähler stimmt mit der zu untersuchenden Reihe überein, aber der Nenner, woher kommt der, aus der vorgegebenen konvergenten Reihe? Aber wieso schreibt man die dann zusammen in einen Bruch und wendet das Quotientenkriterium an? Kann man mir das bitte mal erklären?

Bezug
                                        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Di 07.12.2010
Autor: fred97

Erklärungen:

1. Es ist  [mm] a_n \ge [/mm] 0  und [mm] \sum a_n [/mm] konvergent. Wenn nun eine weitere Folge [mm] (b_n) [/mm] gegeben ist mit [mm] b_n \ge [/mm] 0 und man soll [mm] \sum b_n [/mm] auf Konvergenz untersuchen, so kommt man manchmal mit einem "Vergleich" zum Ziel:

Stell Dir vor, Du weißt es gibt ein m  in [mm] \IN [/mm] mit  [mm] \bruch{b_n}{a_n} \le [/mm] 2 für n>m, so ist nach dem Maj. -kriterium die Reihe [mm] \sum b_n [/mm]  konvergent

Das war meine Idee

2.  Da [mm] \sum a_n [/mm] konvergent ist muß nach dem Quotientenkriterium lim sup [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} \le [/mm] 1 sein.

Damit ist auch lim sup [mm] \wurzel{ \bruch{a_{n+1}}{a_n} }\le [/mm] 1

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Di 07.12.2010
Autor: Big_Head78

Ok. ich glaube ich bin jetzt nah dran es zu verstehen...
Die 2 ist aber doch beliebig von dir gewählt, man hätte auch jede andere Zahl >1 benutzen können, oder?

Die Idee mit der Monotonie kam mir, weil [mm] a_{n} [/mm] ja eine Nullfolge sein muss, und ich weiss aus der Aufg.stellung [mm] a_{n} [/mm] ist Teilmenge von [mm] \IR^{+}. [/mm] Muss sie dann nicht von oben gegen die Null laufen?

Bezug
                                                        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 Di 07.12.2010
Autor: fred97


> Ok. ich glaube ich bin jetzt nah dran es zu verstehen...
>  Die 2 ist aber doch beliebig von dir gewählt, man hätte
> auch jede andere Zahl >1 benutzen können, oder?

Ja

>  
> Die Idee mit der Monotonie kam mir, weil [mm]a_{n}[/mm] ja eine
> Nullfolge sein muss, und ich weiss aus der Aufg.stellung
> [mm]a_{n}[/mm] ist Teilmenge von [mm]\IR^{+}.[/mm] Muss sie dann nicht von
> oben gegen die Null laufen?

Schon, aber monoton muß es nicht sein

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Di 07.12.2010
Autor: Big_Head78

Für den ersten Teil von a) hab ich das jetzt geblickt, jetzt versuche ich das beim zweiten Teil von a). Kann man da auch wieder das Quotientenkriterium benutzen, und günstig umformen, um eine Aussage zu erhalten?

Bezug
                                                                        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Di 07.12.2010
Autor: fred97

Es ist

       [mm] (\bruch{1}{a_{n}}+ \bruch{1}{a_{n+1}})^{-1} \le a_n [/mm]

einfach nachrechnen !!

Bezug
                                                                                
Bezug
Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:28 Di 07.12.2010
Autor: Big_Head78

Ah gut, so hatte ich das zuerst versucht und bekam das auch raus.

Danke!

Bezug
                                                                                
Bezug
Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 Di 07.12.2010
Autor: Big_Head78

Jetzt sitze ich vor b) und habe mir überlegt:

[mm] a_{n} [/mm] muss eine Nullfolge sein, sie ist monoton fallend (steht so in der Aufg.).

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n*a_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}n [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}= +\infty [/mm] * 0=0

scheint mir aber irgendwie zu einfach.

Bezug
                                                                                        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Di 07.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Jetzt sitze ich vor b) und habe mir überlegt:
>
> [mm]a_{n}[/mm] muss eine Nullfolge sein, sie ist monoton fallend
> (steht so in der Aufg.).
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n*a_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}n[/mm] * [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}= [/mm] [notok]

Das ist eine Vergewaltigung der Rechenregeln für den Limes

Das gilt doch in umgekehrter Richtung!

Wenn du 2 Folgen [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] hast, die gegen [mm]a[/mm] bzw. [mm]b[/mm] konvergieren, dann konvergiert die Folge [mm](a_n\cdot{}b_n)[/mm] gegen [mm]a\cdot{}b[/mm]


> [mm] =+\infty* 0=0[/mm]

Wieso sollte [mm]0\cdot{}\infty=0[/mm] sein?

>
> scheint mir aber irgendwie zu einfach.

Vor allem zu falsch!

Überlege dir etwas anderes ...


Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                                
Bezug
Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Mi 08.12.2010
Autor: Big_Head78

Gut, mein neuer Ansatz:

Annahme: es gibt eine Gw c>0
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}=c>0 [/mm]

[mm] \Rightarrow n*a_{n}>0 [/mm] für [mm] n>n_{0} [/mm]

[mm] \Rightarrow a_{n}> \bruch{c}{n} [/mm] für [mm] n>n_{0} [/mm]

[mm] \Rightarrow \summe_{n>n_{0}}^{}a_{n} [/mm] ist divergente Minorante, und das ist ein Widerspruch zu [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] ist konvergent

Stimmt das?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Mi 08.12.2010
Autor: fred97

Und was machst Du, wenn [mm] (n*a_n) [/mm] überhaupt keine Grenzwert hat ?

FRED

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:51 Mi 08.12.2010
Autor: Big_Head78

Ich habe mir überlegt, dass ich mit dem Cauchy-Kriterium zeige, dass es einen GW gibt, also die Folge konvergent ist:

sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] und m>n und [mm] \varepsilon'=\bruch{\varepsilon}{n} \Rightarrow \varepsilon' \le \varepsilon [/mm]

[mm] |n*a_{n}-m*a_{m}|=n*a_{n}-m*a_{m} \le n*a_{n}-n*a_{m}= [/mm]
n* [mm] \underbrace{(a_{n}-a_{m})}_{\le \varepsilon'}\le n*\varepsilon'= \varepsilon [/mm]

Dann habe ich doch gezeigt, dass es einen GW gibt, oder? Und dann kann ich doch wie oben den Beweis führen,oder?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Mi 08.12.2010
Autor: fred97


> Ich habe mir überlegt, dass ich mit dem Cauchy-Kriterium
> zeige, dass es einen GW gibt, also die Folge konvergent
> ist:
>  
> sei [mm]\varepsilon>0[/mm] und m>n und
> [mm]\varepsilon'=\bruch{\varepsilon}{n} \Rightarrow \varepsilon' \le \varepsilon[/mm]

Nee, so geht das nicht. Keine Abhängigkeit von n   !!!!

FRED

>  
> [mm]|n*a_{n}-m*a_{m}|=n*a_{n}-m*a_{m} \le n*a_{n}-n*a_{m}=[/mm]
> n* [mm]\underbrace{(a_{n}-a_{m})}_{\le \varepsilon'}\le n*\varepsilon'= \varepsilon[/mm]
>  
> Dann habe ich doch gezeigt, dass es einen GW gibt, oder?
> Und dann kann ich doch wie oben den Beweis führen,oder?


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:57 Mi 08.12.2010
Autor: fred97

Der Beweis ist nicht einfach, daher:

                https://matheraum.de/forum/Konvergenzverhalten/t722454

FRED

Bezug
                        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Di 07.12.2010
Autor: fred97


> Ich sehe gerade, dass ich falsch abgeschrieben habe, ich
> bitte um Entschldigung.
>  
> Richtig soll es heißen:
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] konvergiert [mm]\Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{a_{n}*a_{n+1}}[/mm]
> konvergiert
>  
> Kann ich nicht sagen:
>  [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] konvergiert [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0[/mm]
> und [mm]a_{n}[/mm] monoton fallend.

Warum sollte [mm] (a_n) [/mm] monoton sein ????

FRED

>  
> Also:
>  [mm]\wurzel{a_{n}*a_{n+1}} \le \wurzel{a_{n}*a_{n}}=a_{n}[/mm] und
> dann kann ich mit dem Majorantenkriterium argumentieren.
>  
> Stimmt das so?
>  Für die andere Reieh habe ich das ähnlich gemacht.
>  
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]