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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Fr 05.08.2005 | | Autor: | real |
Hallo Forum,
ich habe ein Problem mit folgender (eigentlich leichten?!) Aufgabe:
Ist die Reihe divergent, konvergent oder absolut konvergent
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^2}{n!}
[/mm]
ich will das Ganze nun mit dem Quotientenkiterium lösen:
[mm] \bruch{\bruch{(n+2)^2}{(n+1)!}}{\bruch{(n+1)^2}{n!}} [/mm] = [mm] \bruch{(n+2)^2 n!}{(n+1)! (n+1)^2}
[/mm]
tja soweit so gut denke ich, aber was nun. Ich habe leider keine Ahnung was ich mit der Fakultät machen soll, weil die muss ja irgendwie weg denke ich?!
Hoffe es kann mir jemand helfen
Grüße
real
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Fr 05.08.2005 | | Autor: | real |
Hallo,
ja das hilft mir natürlich sehr. Die Reihe ist also (nach noch ein bischen Rechnen) absolut konvergent.
[mm] n!\cdot(n+1)=(n+1)!
[/mm]
auch auf die Gefahr hin mich lächerlich zu machen, aber wie kommt man
auf obigen Ausdruck? Gibt es irgendwo eine Zusammenfassung von Rechenregeln mit Fakultäten?
Danke
real
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Fr 05.08.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo real,
> ja das hilft mir natürlich sehr. Die Reihe ist also (nach
> noch ein bischen Rechnen) absolut konvergent.
Ja, das würde ich auch sagen. Da der Quotient eine Nullfolge ist, sind fast alle Folgenglieder kleiner z.B. q=0,9, damit ist das  Quotientientenkriterium erfüllt.
> [mm]n!\cdot(n+1)=(n+1)![/mm]
>
> auch auf die Gefahr hin mich lächerlich zu machen, aber wie
> kommt man
> auf obigen Ausdruck? Gibt es irgendwo eine Zusammenfassung
> von Rechenregeln mit Fakultäten?
Bei Wikipedia wirst du sicher fündig, aber diese Rege ist auch schnell selbst hergeleitet:
[mm] $(n+1)!=(n+1)*\underbrace{n*(n-1)*(n-2)*\cdots*3*2*1}_{=n!}=(n+1)*n!$
[/mm]
Häufig wird die Fakultät auch direkt so definiert:
[mm] $n!=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n=0 \\ n*(n-1)!, & \mbox{für } n>0 \end{cases}$
[/mm]
Dies ist äquivalent zur alternativen Definition
[mm] $n!=\produkt_{k=1}^n k=1*2*3*\cdots*(n-1)*n$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Fr 05.08.2005 | | Autor: | real |
Ist klar geworden. Danke für deine schnelle und ausführliche Antwort!
Gruß
real
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