Reihen - Konvergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Do 24.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Hallo,
eine Teilaufgabe auf meinem aktuellen Übungszettel lautet:
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz - soweit, so gut. Doch bei zwei angegebenen Reihen komme ich nicht weiter:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{5^n((n+1)!)^2}{(2n)!}
[/mm]
und
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2+ (-1)^k}{k²+7}
[/mm]
Offenbar divergieren ja die beiden Reihen, doch wie zeige ich dies explizit?
In der Vorlesung hatten wir:
- notwendiges Konvergenzkriterium
- Majorantenkriterium
- Leibnizsches Konvergenzkriterium
- Quotientenkriterium
- Kriterium für beschränkte Reihen
Offenbar muss man hier wohl das notwendige Konvergenzkriterium benützen, doch soll ich bei den Potenzen und Fakultäten die Grenzwertsätze sinnvoll anwenden?
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Hallo Commutus!
> eine Teilaufgabe auf meinem aktuellen Übungszettel lautet:
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") Der Matheraum ist nicht dazu da, um dir Musterlösungen für deine Übungsblätter zu verschaffen!
Probier doch erstmal, deine Konvergenzkriterien auf diese Reihen anzuwenden! Wenn du dann immer noch feststeckst, kannst du dann deinen Lösungsansatz hier posten und wir helfen dir gerne weiter!
Als Tipp: Vergiss nicht, dass einige Kriterien auch angeben, wann eine Reihe divergiert.
> Offenbar divergieren ja die beiden Reihen
Da wäre ich mir im übrigen nicht so sicher...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Do 24.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Ich habe bereits versucht die Kriterien anzuwenden, komme jedoch nicht wirklich weiter - daher meine Frage.. 
(Du hast Recht, die zweite Reihe konvergiert...)
Zur ersten Reihe:
Da der Zähler der Folge [mm] \bruch{5^n ((n+1)!)^2}{(2n)!} [/mm] wesentlich schneller wächst als der Nenner, divergiert sowohl die Folge als auch die damit verbundene Folge der Partialsummen (=Reihe). Wenn ich jetzt das Quotientenkriterium anwende komme ich schlussendlich zu folgendem Ausdruck
[mm] \bruch{5n^2+20n+20}{4n^2+6n+2}
[/mm]
Da der Zähler stets größer als der Nenner ist, ist der Ausdruck > 1 und somit divergiert die Reihe.
Ist dies Überlegung richtig?
Bei der zweiten Reihe habe ich nun gezeigt, dass die Folge [mm] \bruch{2+(-1)^k}{k^2+7} [/mm] laut notwendigem Konvergenzkriterium eine Nullfolge ist. Jetzt müsste ich nur noch die hinreichende Bedingung finden, und genau da stecke ich fest...
Wäre wirklich sehr nett, wenn du mir nochmals kruz auf die Sprünge helfen könntest...
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Hallo Commotus!
> [mm]\bruch{5n^2+20n+20}{4n^2+6n+2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da der Zähler stets größer als der Nenner ist, ist der
> Ausdruck > 1 und somit divergiert die Reihe.
>
> Ist dies Überlegung richtig?
Naja, argumentiere lieber über den Grenzwert des Quotientenkriteriums:
[mm] $\limsup_{n\rightarrow\infty} \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{5n^2+20n+20}{4n^2+6n+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{4} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ 1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Divergenz!
Bei der zweiten Reihe einfach mal den Bruch (und anschließend auch die Reihe) in zwei Terme zerlegen:
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2+(-1)^k}{k^2+7} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2}{k^2+7} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{1}{k^2+7}$
[/mm]
Nun kannst Du den beiden Reihen separat mit dem Majorantenkriterium bzw. dem LEIBNIZ-Kriterium auf den Leib rücken.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Do 24.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Kann ich als Majorante die Folge [mm] a_n:= \bruch{1}{k^2} [/mm] verwenden?
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Hallo Commotus!
> Kann ich als Majorante die Folge [mm]a_n:= \bruch{1}{k^2}[/mm]
> verwenden?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Klar ...
Du musst halt eine Majorante wählen, von der Du weißt, dass die entsprechende Reihe konvergiert, was ja auch für diese Folge zutrifft.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Do 24.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Habe gerade festgestellt, dass [mm] \bruch{1}{k^2} [/mm] keine Majorante ist, sondern z.B. [mm] \bruch{2}{k^2}!! [/mm] Stimmt doch, oder?
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Hallo Commotus!
So hatte ich das eben auch verstanden ...
Gruß vom
Roadrunner
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