Reihen Konvergenz. Stetigkeit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo,
ich lerne grade für meine Ana Klausur, daher bearbeite ich grade Altklausuren, dabei habe ich festgestellt, das ich drei Aufgabe habe mit denen ich überhaupt nicht klar komme. Leider gibt es keine Musterlösung zu den Aufgaben.
1.) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, so dass die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2n+3}{n^{2}-1}x^{n} [/mm] konvergiert.
2.) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen a, für die die Reihe konvergiert.
a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(a^{2}+1)(a^{2}+2)...(a^{2}+n)}{(2n)!}
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n+a}{n}^{n}^{2} [/mm] (Da sollte eigentlich hoch n und bei diesem hoch n noch ein hoch 2)
3)Sei f(x)= [mm] \bruch{1}{x}-\bruch{1}{e^{x}-1} [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0 und f(0)=a.
a) Bestimmen Sie den Wert a, so dass die Funktion f in 0 stetig wird.
Also wir hatten nicht wirklich solche Übungen auf den Übungsblätter, daher weiß ich nicht wie ich diese Aufgaben angehen soll. Aber ich würde gerne wissen wie das geht, damit ich ein sicheres Gefühl bei der Klausur habe.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Mi 01.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu den Reihen:
1. Schritt: bilden die summanden eine Nullfolge, ja weitermachen, nein divergent
bei ja Quotientenkriterium (oder Wurzelkriterium).
zur Funktion
suche den GW für x gegen 0; ein Bruch dann L'Hopital
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:38 Do 02.02.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo,
also zu 1) Es ist eine Nullfolge, also wende ich das Wurzelkrit. an und erhalte [mm] \wurzel[n]{\bruch{2n+3}{n^{2}-1}}*x [/mm] ab hier weiß ich nicht mehr wie ich weiter umformen soll. Das Problem habe ich sehr oft.
2a) [mm] \bruch{(a^{2}+n)!}{(2n)!} [/mm] Quotientenkr. [mm] \bruch{(a^{2}+n+1)!*(2n)!}{(2n+2)!*(a^{2}+n)!} [/mm] = [mm] \bruch{(a^{2}+n+1)!}{(2n+2)(2n+1)} [/mm] bei der Reihe weiß ich hier nicht mehr weiter.
b) Ist keine Nullfolge, daher divergent.
Zur Aufgabe 3 : Wir hatten l´hospital nicht
Tutmirleid, dass ich nur so wenig geschafft habe
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Do 02.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> also zu 1) Es ist eine Nullfolge, also wende ich das
> Wurzelkrit. an und erhalte
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{2n+3}{n^{2}-1}}*x[/mm] ab hier weiß ich nicht
> mehr wie ich weiter umformen soll. Das Problem habe ich
> sehr oft.
fast:
Nach dem Wurzelkriterium ist doch "eigentlich"
[mm] $$\limsup_{n \to \infty}\wurzel[n]{\left|\bruch{2n+3}{n^{2}-1}*x^n\right|}$$
[/mm]
zu berechnen. Da hier sogar der Limes existiert (das sehen wir gleich), stimmt dieser Limes mit obigem Limsup überein. Wir zeigen bzw. begründen die Existenz dieses Limes und berechnen ihn:
Es gilt
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{\left|\bruch{2n+3}{n^{2}-1}*x^n\right|}=\lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{\bruch{2n+3}{n^{2}-1}}*\lim_{n \to \infty}|x|$$
[/mm]
wobei wir dies haben, weil die beiden Limes rechterhand der Gleichung existieren. Davon ist die Existenz von [mm] $\lim_{n \to \infty}|x|$ [/mm] klar, weil dieser gerade [mm] $=|x|\,$ [/mm] ist. Bleibt die Existenz von [mm] $\lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{\bruch{2n+3}{n^{2}-1}}$ [/mm] zu begründen:
Es gilt
[mm] $$\sqrt[n]{\frac{n}{n^2}}\le \wurzel[n]{\bruch{2n+3}{n^{2}-1}}\le \sqrt[n]{\frac{3n}{n^2/2}}\,,$$
[/mm]
und weil [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ und [mm] $\sqrt[n]{p} \to [/mm] 1$ für jede feste Zahl $p > 0$ gilt, folgt
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{\bruch{2n+3}{n^{2}-1}}=1\,.$$
[/mm]
Fazit:
[mm] $$\limsup_{n \to \infty}\wurzel[n]{\left|\bruch{2n+3}{n^{2}-1}*x^n\right|}=\lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{\left|\bruch{2n+3}{n^{2}-1}*x^n\right|}=\lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{\bruch{2n+3}{n^{2}-1}}*\lim_{n \to \infty}|x|=1*|x|=|x|\,.$$
[/mm]
Also? Für welche [mm] $x\,$ [/mm] konvergiert die Reihe gewiss, für welche divergiert sie gewiss? Für welche [mm] $x\,$ [/mm] "wissen wir erstmal noch nichts"?
P.S.:
'Vielleicht' ein "wenig einfacher" wäre das ganze oben, wenn man den Satz 33.6 aus Heuser, Analysis I zur Verfügung hat.
Anstatt "nur" die Reihe
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n+3}{n^{2}-1}x^{n}$$ [/mm]
zu betrachten, betrachtet man erstmal
$$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \left|\bruch{2n+3}{n^{2}-1}x^{n}\right|\,.$$
[/mm]
Letztstehende Reihe kann man dann mit
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}|x|^n$$
[/mm]
vergleichen (okay: strenggenommen "müßte" man zwei Fälle unterscheiden: Entweder [mm] $x=0\,$ [/mm] oder $x [mm] \not=0\,,$ [/mm] und nur im Falle $x [mm] \not=0$ [/mm] darf man den Satz aus Heuser herbeiziehen - aber die Konvergenzuntersuchung im Fall [mm] $x=0\,$ [/mm] ist ja eh eine Trivialität!), wobei diese nun wegen [mm] $\sqrt[n]{n}\to [/mm] 1$ für alle $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] konvergiert.
Damit konvergiert auch
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n+3}{n^{2}-1}x^{n}$$
[/mm]
schonmal für alle $-1 < x < [mm] 1\,.$
[/mm]
Dass die Reihe
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n+3}{n^{2}-1}x^{n}$$
[/mm]
für $|x| > [mm] 1\,,$ [/mm] also $x > [mm] 1\,$ [/mm] oder $x < [mm] -1\,,$ [/mm] divergent ist, ist auch leicht einzusehen, da die Folge der Summanden dann keine Nullfolge bilden (Beweis?).
Es bleiben also noch die Fälle [mm] $x=-1\,$ [/mm] bzw. [mm] $x=1\,$ [/mm] separat zu untersuchen.
Tipp:
Im Falle [mm] $x=1\,$ [/mm] zeigt, vgl. wieder Heuser, Satz 33.6, die Reihe
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n+3}{n^{2}-1}x^{n}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n+3}{n^{2}-1}$$
[/mm]
das gleiche Grenzverhalten wie
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$
[/mm]
auf. Also?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Ganz |
Danke, kann ich bei der anderen Aufgabe sagen, dass bei [mm] \bruch{(a^{2}+n+1)}{(2n+2)(2n+1)}= \bruch{(a^{2}+n+1)}{(4n^{2}+6n+2)} [/mm] der nenner schneller steigt und der Grenzwert somit gegen 0 geht und daher konvergiert die reihe für alle a.
Hat jemand bei der Stetigkeitsaufgabe eine idee?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke, kann ich bei der anderen Aufgabe sagen, dass bei
> [mm]\bruch{(a^{2}+n+1)}{(2n+2)(2n+1)}= \bruch{(a^{2}+n+1)}{(4n^{2}+6n+2)}[/mm]
> der nenner schneller steigt und der Grenzwert somit gegen 0
> geht und daher konvergiert die reihe für alle a.
nein. Nimm' das Buch von Heuser und schau' in den schonmal von mir zitierten Satz 33.6:
Ich zeige Dir mal, wie man hier "zu Potte kommt":
Weil (für jedes $a > [mm] 0\,$)
[/mm]
[mm] $$\frac{\frac{a^2+n+1}{4n^2+6n+2}}{\frac{1}{n}} \to \frac{1}{4} [/mm] > 0$$
bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] (kannst Du das beweisen??), haben die Reihen
[mm] $$\sum_n \bruch{(a^{2}+n+1)}{(4n^{2}+6n+2)}$$
[/mm]
und
[mm] $$\sum_n \frac{1}{4n}=\frac{1}{4}\sum_n \frac{1}{n}$$
[/mm]
das gleiche Konvergenzverhalten. Also?
P.S.:
Nimm' Dir das Buch vom Heuser, und schau' Dir den Beweis an. Der ist elementar, und das, was man lernt, wenn man diesen Beweis versteht, bringt enorm viel! Ich kann's nur dringend's empfehlen!!!
P.P.S.:
Ich sehe gerade: Wenn Du die Aufgabe 2a) meintest: Da steht aber doch was ganz anderes als das, was Du hier gefragt hattest!!!
Dort würde ich erstmal das Quotientenkriterium versuchen, wenn ich damit nicht weiterkomme, das (etwas stärkere) Wurzelkriterium...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hat jemand bei der Stetigkeitsaufgabe eine idee?
klar:
> 3)Sei f(x)= $ [mm] \bruch{1}{x}-\bruch{1}{e^{x}-1} [/mm] $ für x $ [mm] \not= [/mm] $ 0 und
> f(0)=a.
> a) Bestimmen Sie den Wert a, so dass die Funktion f in 0 stetig wird.
es muss ja [mm] $\lim_{0 \not=x \to 0}f(x)=a$ [/mm] gelten:
Nun kann man
[mm] $$f(x)=\frac{e^x-x-1}{x e^x-x}$$
[/mm]
schreiben. Das führt mit de l'Hospital (Fall "$0/0$") dann auf die Berechnung von
[mm] $$\lim_{0 \not=x \to 0}\frac{e^x-1}{xe^x+e^x-1}\,,$$
[/mm]
und weitere Verwendung von de l'Hospital führt zur Berechnung von
[mm] $$\lim_{0 \not=x \to 0}\frac{e^x}{xe^x+2e^x}\,.$$
[/mm]
Also?
P.S.:
Ohne de l'Hospital kann man auch mit der Darstellung [mm] $e^x=\sum_{k=0}^\infty x^k/k!$ [/mm] argumentieren!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
zu 2a):
a) $ [mm] \summe_{\red{n}=1}^{\infty} \underbrace{\bruch{(a^{2}+1)(a^{2}+2)...(a^{2}+n)}{(2n)!}}_{=:x_n=x_n(a)} [/mm] $
gemäß des QKs berechnen wir
[mm] $$\frac{\bruch{(a^{2}+1)(a^{2}+2)...(a^{2}+n)(a^2+n+1)}{(2n)!(2n+1)(2n+2)}}{\bruch{(a^{2}+1)(a^{2}+2)...(a^{2}+n)}{(2n)!}}=\frac{a^2+n+1}{(2n+2)(2n+1)}\,.$$
[/mm]
Glücklicherweise sehen wir so, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} |x_{n+1}/x_n|$ [/mm] (für jedes feste [mm] $a\,$) [/mm] eine Zahl [mm] $\in [/mm] [0,1)$ ist: Welche? Was sagt das nun?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Ganz |
> gemäß des QKs berechnen wir
>
> [mm]\frac{\bruch{(a^{2}+1)(a^{2}+2)...(a^{2}+n)(a^2+n+1)}{(2n)!(2n+2)}}{\bruch{(a^{2}+1)(a^{2}+2)...(a^{2}+n)}{(2n)!}}=\frac{a^2+n+1}{2n+2}\,.[/mm]
Also ich hatte schon direkt das geschrieben was nach der Anwendung des Q.Krit. bei mir rauskam. Hast du hier im Nenner nicht 2n+1 vergessen?
Kann man das jetzt nicht mehr mit dem Satz 33.6 machen? (Hab das Buch leider nicht hier, daher weiß ich nicht genau was da steht.muss erst morgen in die Bibliothek.)
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > gemäß des QKs berechnen wir
> >
> >
> [mm]\frac{\bruch{(a^{2}+1)(a^{2}+2)...(a^{2}+n)(a^2+n+1)}{(2n)!(2n+2)}}{\bruch{(a^{2}+1)(a^{2}+2)...(a^{2}+n)}{(2n)!}}=\frac{a^2+n+1}{2n+2}\,.[/mm]
> Also ich hatte schon direkt das geschrieben was nach der
> Anwendung des Q.Krit. bei mir rauskam.
ich schau' gleich nach!
> Hast du hier im
> Nenner nicht 2n+1 vergessen?
Ja stimmt, korrigiere ich nochmal!
> Kann man das jetzt nicht mehr mit dem Satz 33.6 machen?
> (Hab das Buch leider nicht hier, daher weiß ich nicht
> genau was da steht.muss erst morgen in die Bibliothek.)
Weiß ich gerade nicht (man muss sich dazu ja mal überlegen, mit welcher reihe man vergleichen KANN!), aber warum das denn nun auch noch? Das QK tut's doch!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Ganz |
Also kann ich sagen dass der Nenner schneller wächst und daher gegen 0 geht für alle a?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also kann ich sagen dass der Nenner schneller wächst und
> daher gegen 0 geht für alle a?
ja, aber das ist für mich ein wenig zu grob. Das kann man ganz explizit ausdrücken, oder sogar noch genauer hinschreiben, etwa:
Bei der Reihe aus 2a) berechnen wir entsprechend des QKs (ich schreibe im folgenden manchmal nur noch kurz [mm] $\lim$ [/mm] anstatt [mm] $\lim_{n \to \infty}$)
[/mm]
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\frac{a^2+n+1}{4n^2+6n+2}=\frac{(\lim (a/n^2))+\lim (1/n)+\lim(1/n^2)}{(\lim 4)+\lim(6/n)+\lim(2/n^2)}=\frac{0+0+0}{4+0+4}=0/4=0\,.$$
[/mm]
(Dabei wurden nur elementare Rechenregeln für konvergente Folgen benutzt. Und im Zähler und Nenner zuvor jeweils die (insgesamt) größte Potenz ausgeklammert!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > gemäß des QKs berechnen wir
> >
> >
> [mm]\frac{\bruch{(a^{2}+1)(a^{2}+2)...(a^{2}+n)(a^2+n+1)}{(2n)!(2n+2)}}{\bruch{(a^{2}+1)(a^{2}+2)...(a^{2}+n)}{(2n)!}}=\frac{a^2+n+1}{2n+2}\,.[/mm]
> Also ich hatte schon direkt das geschrieben was nach der
> Anwendung des Q.Krit. bei mir rauskam.
jetzt kapier' ich erst, was Du hier gefragt hattest!
> Hast du hier im
> Nenner nicht 2n+1 vergessen?
Ja, hab' ich mittlerweile korrigiert. Okay, in einem hast Du Recht:
Natürlich liefert das QK
[mm] $$\frac{a^2+n+1}{(2n+2)(2n+1)}\,.$$
[/mm]
Nur warum willst Du nun nochmal die Reihe über diese Quotienten betrachten? Ich meine: Klar, könnte man machen, wenn diese dann konvergiert, dürfte man
[mm] $$\frac{a^2+n+1}{(2n+2)(2n+1)} \to [/mm] 0$$
folgern.
Aber das brauchst Du doch gar nicht (zumal dieser Umweg hier nicht geht, da die Reihe über diese Quotienten divergiert), und im allgemeinen wirst Du "diese (starke) Nullkonvergenz" nicht haben - und auch nicht brauchen: Es reicht hier, zu wissen, dass der Grenzwert
[mm] $$g:=\lim_{n \to \infty}\frac{a^2+n+1}{(2n+2)(2n+1)}$$
[/mm]
(existiert und) eine Zahl aus $[0,1[$ ist! Und dass [mm] $g=0\,$ [/mm] gilt, wirst Du sicher beweisen können, oder?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo, gut, dass sich das jetzt geklärt hat.
Danke für deine Hilfe.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, gut, dass sich das jetzt geklärt hat.
ja, sowas passiert halt, wenn man ein wenig aneinander vorbeiredet. Ich habe wirklich nur Deine Frage so aufgefasst, wie sie formuliert war (ohne mich an das drumherum zu erinnern) - das ist sozusagen mein Manko, und Dein Manko war's, nicht zu erwähnen, was Du denn zuvor gemacht hast. Schreibe das bitte IMMER dazu - insbesondere in Klausuren, damit man weiß, was Du Dir da gedacht hast. Außerdem wird's Dir später auch helfen, bei dem Zeug, welches Du mal gelöst hast, zu verstehen, wie Du das gemacht hast. Nicht selten sitzen Leute da und sagen: "Krass... was hab' ich mir denn dabei gedacht?" Dabei ist das einzige Problem, dass ein paar Zwischenschritte nicht erwähnt wurden (wenn man etwas verkürzt, heißt das ja nicht, dass man nur noch "Brocken der Lösung" hinschreibt - sondern das, was man wegläßt, irgendwie "kurz/kürzer" notiert. So wie ich z.B. geschrieben habe "Gemäß des QK berechnen wir....")
> Danke für deine Hilfe.
Gerne!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Sa 04.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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