Reihen Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 So 19.04.2009 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz.Benutzen Sie dazu die einschlägigen Konvergenzkriterien aus der Vorlesung.
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] 1/n! |
Hallo.
Habt Ihr eine Idee wie man diese Aufgabe lösen kann?
Habe mir die Kriterien angeschaut, komm aber trotzdem nicht dahinter.
gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stevie!
Hier solltest Du mit dem ![[]](/images/popup.gif) Quotientenkriterium sehr schnell ans Ziel kommen:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{\bruch{1}{(n+1)!}}{\bruch{1}{n!}}\right| [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 So 19.04.2009 | | Autor: | StevieG |
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{n!}{(n+1)!}| \le [/mm] q < 1 ???
Daraus folgt die Konvergenz der Reihe.
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stevie!
Das stimmt soweit. Allerdings solltest Du hier noch mindestens einen Zwischenschritt mehr hinschreiben, damit man auch wirklich erkennt, dass der Grenzwert kleiner 1 ist (Tipp: kürzen).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 So 19.04.2009 | | Autor: | StevieG |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{(n+1)!} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{n! * (n+1)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{1}{n+1}| \le [/mm] q < 1
Ist das korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stevie!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Die Betragsstriche kannst Du hier sehr schnell weglassen, da es nur um $n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] geht.
Aber schreibe doch auch ruhig hin, dass dieser Grenzwert $= \ 0$ ist.
Gruß
Loddar
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