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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 So 19.04.2009 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Untersuchen sie die Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} (\bruch{4}{n})^{n} [/mm] |
Zunächst habe ich das Leibnitz kriterium angewannt: [mm] (-1)^{n}bk
[/mm]
Daraufhin Quotientenkriterium mit [mm] |\bruch{bk+1}{bk}|
[/mm]
[mm] {\bruch{(\bruch{4}{n+1})^{n+1}}{(\bruch{4}{n})^{n}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{4^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}* \bruch{n^{n}}{4^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{4^{n+1}*n^{n}}{(n+1)^{n+1}*4^{n}}
[/mm]
Ab hier weiss ich nicht weiter und ich habe probleme das zu kürzen.
brauche hilfe.
gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stevie!
Wenn Du das Leibnizkriterium anwendest, benötigst Du kein weiteres Konvergenzkriterium.
Nach Leibniz musst Du nachweisen, dass [mm] $\left(\bruch{4}{n}\right)^n$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Alternativ zu Leibniz kannst Du auch das Quotientenkriterium anwenden. Oder hier noch schneller: das ![[]](/images/popup.gif) Wurzelkriterium.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stevie!
Noch eine Anmerkung zu Deinem Weg mittels Quotientenkriterium.
Du kannst hier wie folgt zerlegen:
[mm] $$\bruch{4^{n+1}*n^n}{(n+1)^{n+1}*4^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4^n*4^1*n^n}{(n+1)^n*(n+1)^1*4^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{n+1}*\left(\bruch{n}{n+1}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{n+1}*\bruch{1}{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{n+1}*\bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 So 19.04.2009 | | Autor: | StevieG |
Laut lösung:
...= [mm] \bruch{4}{n+1}*\bruch{n^{n}}{(n+1)^{n}}
[/mm]
ich verstehe nicht wie das zustande kommt.
gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stevie!
Hier habe ich zunächst durch [mm] $4^n$ [/mm] gekürzt und den Term [mm] $(n+1)^{n+1}$ [/mm] gemäß  Potenzgesetz zerlegt:
[mm] $$(n+1)^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] (n+1)^n*(n+1)^1$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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