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Forum "Folgen und Reihen" - Reihen Konvergenz
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Reihen Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 So 03.07.2011
Autor: Trolli

Aufgabe
Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz. Entscheiden Sie, ob die Reihe auch absolut konvergiert.

a) [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k}{2k+1}\right)^k$ [/mm]
b) [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}$ [/mm]

Hallo,

bei a) habe ich das Wurzelkriterium angwendet [mm] $\sqrt[k]{|a_k|}$ [/mm]

[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{\left|\left(\frac{k}{2k+1}\right)^k\right|}=\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\frac{k}{2k+1}\right|=\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2+\frac{1}{k}}=\frac{1}{2}<1 \Rightarrow$ [/mm] Reihe ist abs. konvergent


b) hier hab ich erstmal das Quotientenkriterium versucht

[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}=\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{2k+3}\cdot\frac{2k+1}{1}\right|=\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{2k+1}{2k+3}=\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{2+\frac{1}{k}}{2+\frac{3}{k}}=1$ [/mm]

Bei =1 ist ja keine Aussage möglich. Könnt ihr mir einen Anstoss geben wie ich weitermache? Bin ich bei a) richtig vorgegangen?

Danke für Hilfe.

        
Bezug
Reihen Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:46 So 03.07.2011
Autor: fencheltee


> Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz. Entscheiden Sie,
> ob die Reihe auch absolut konvergiert.
>  
> a) [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k}{2k+1}\right)^k[/mm]
>  b) [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}[/mm]
>  Hallo,
>  
> bei a) habe ich das Wurzelkriterium angwendet
> [mm]\sqrt[k]{|a_k|}[/mm]
>  
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{\left|\left(\frac{k}{2k+1}\right)^k\right|}=\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\frac{k}{2k+1}\right|=\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2+\frac{1}{k}}=\frac{1}{2}<1 \Rightarrow[/mm]
> Reihe ist abs. konvergent

hallo,
[ok]

>  
>
> b) hier hab ich erstmal das Quotientenkriterium versucht
>  
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}=\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{2k+3}\cdot\frac{2k+1}{1}\right|=\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{2k+1}{2k+3}=\limes_{k\rightarrow\infty}\frac{2+\frac{1}{k}}{2+\frac{3}{k}}=1[/mm]
>  
> Bei =1 ist ja keine Aussage möglich. Könnt ihr mir einen
> Anstoss geben wie ich weitermache? Bin ich bei a) richtig
> vorgegangen?

bei b) hilft eine divergente minorante:
[mm] \frac{1}{2k+1}\ge\frac{1}{2k+k}=... [/mm]

stichwort: harmonische reihe

>  
> Danke für Hilfe.

gruß tee

Bezug
                
Bezug
Reihen Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 So 03.07.2011
Autor: Trolli


>  bei b) hilft eine divergente minorante:
>  [mm]\frac{1}{2k+1}\ge\frac{1}{2k+k}=...[/mm]
>  
> stichwort: harmonische reihe
>  >  
> > Danke für Hilfe.
>
> gruß tee

[mm] $\frac{1}{2k+1}\ge\frac{1}{2k+k}=\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{9},\frac{1}{12},...=\frac{1}{3k}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow\sum\frac{1}{2k+1}\ge\sum\frac{1}{3k}=\frac{1}{3}\sum\frac{1}{k} [/mm] $

Das ist ja jetzt die harmonische Reihe und diese ist divergent, deshalb ist auch die Ausgangsreihe divergent.

So korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Reihen Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 So 03.07.2011
Autor: MathePower

Hallo Trolli,

> >  bei b) hilft eine divergente minorante:

>  >  [mm]\frac{1}{2k+1}\ge\frac{1}{2k+k}=...[/mm]
>  >  
> > stichwort: harmonische reihe
>  >  >  
> > > Danke für Hilfe.
> >
> > gruß tee
>
> [mm]\frac{1}{2k+1}\ge\frac{1}{2k+k}=\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{9},\frac{1}{12},...=\frac{1}{3k}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow\sum\frac{1}{2k+1}\ge\sum\frac{1}{3k}=\frac{1}{3}\sum\frac{1}{k}[/mm]
>  
> Das ist ja jetzt die harmonische Reihe und diese ist
> divergent, deshalb ist auch die Ausgangsreihe divergent.
>  
> So korrekt?


Ja. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Reihen Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:03 So 03.07.2011
Autor: Trolli

Ich danke Euch beiden.

Bezug
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