matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenReihen und Konvergenz
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Folgen und Reihen" - Reihen und Konvergenz
Reihen und Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Reihen und Konvergenz: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Do 19.08.2010
Autor: john_rambo

Aufgabe
Welche der nachfolgenden Reihen sind konvergent, welche divergent? Begründen Sie Ihre Antwort.

a) [mm] \summe_{n\ge0} (-1)^n \bruch{3n + 2}{4n + 1} [/mm]

b) [mm] \summe_{n\ge0} \bruch{2^n + 3^n}{2^n * 3 ^n} [/mm]

c) [mm] \summe_{n\ge1} \bruch{sin(n)}{n^3} [/mm]

d) [mm] \summe_{n\ge1} \bruch{1}{n + 2\wurzel{n}} [/mm]

e) [mm] \summe_{n\ge1} \bruch{2^n}{n^2} [/mm]

f) [mm] \summe_{n\ge0} (\bruch{n + 1}{3n - 1})^{2n} [/mm]

a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{(-1)^{n + 1} * \bruch{3(n + 1) + 2}{4(n + 1) + 1}}{(-1)^n * \bruch{3n + 2}{4n + 1}} [/mm] | = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{(-1)^{n + 1}}{(-1)^n} \bruch{\bruch{3(n + 1) + 2}{4(n + 1) + 1}}{\bruch{3n + 2}{4n + 1}} [/mm] | = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | (-1) * [mm] \bruch{(3n + 5) * (4n + 1)}{(4n + 5) * (3n + 2)} [/mm] | = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{12n^2 + 23n + 5}{12n^2 + 23n + 10} [/mm] = 1

Eigentlich ist diese Reihe ja konvergent, weil der Nenner immer ein Stück größer ist als der Zähler, aber was mach ich denn jetzt?

b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2^{n+1} + 3^{n + 1}}{2^{n+1} * 3^{n + 1}}}{\bruch{2^n + 3^n}{2^n * 3 ^n}} [/mm] => Umformen => [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2 * 2^n + 3 * 3^n}{6 * 2^n + 6 * 3^n} [/mm] = 0

Diese Reihe konvergiert. Stimmt das?

c) Ich nehm hier das Grenzwertkriterium ...

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{sin(n)}{n^3}}{\bruch{1}{n^2}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(n) * n^2}{n^3} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(n)}{n} [/mm] = 0.

Diese Reihe ist konvergent. Stimmt das?

d) Damit hatte ich bisher am meisten Schwierigkeiten...

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{(n + 1) + 2\wurzel{n + 1}}}{\bruch{1}{n + 2\wurzel{n}}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n + 2\wurzel{n}}{(n + 1) + 2\wurzel{n + 1}} [/mm]

Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Habs auch mit dem Grenzwertkriterium versucht, kam folgendes raus:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{n^2}{n + 2\wurzel{n}} [/mm]

e) Quotientenkriterium (ich schreib hier nur noch die Lösung hin, der Weg war hier ziemlich leicht, ich denk mal dass das richtig ist):

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{n + 1} * n^2}{(n + 1)^2 * 2^n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{1 + \bruch{2}{n} + \bruch{1}{n^2}} [/mm] = 2

Reihe ist divergent

f)Ich schreib auch hier nur noch meine Lösung hin, weil heir der Weg auch ziemlich einfach war, ich denk mal das stimmt ...

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n + 1}{3n - 1})^2 [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2 + 2n + 1}{9n^2 - 6n + 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} [/mm]

Die Reihe ist konvergent

        
Bezug
Reihen und Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Do 19.08.2010
Autor: fred97


> Welche der nachfolgenden Reihen sind konvergent, welche
> divergent? Begründen Sie Ihre Antwort.
>  
> a) [mm]\summe_{n\ge0} (-1)^n \bruch{3n + 2}{4n + 1}[/mm]
>  
> b) [mm]\summe_{n\ge0} \bruch{2^n + 3^n}{2^n * 3 ^n}[/mm]
>  
> c) [mm]\summe_{n\ge1} \bruch{sin(n)}{n^3}[/mm]
>  
> d) [mm]\summe_{n\ge1} \bruch{1}{n + 2\wurzel{n}}[/mm]
>  
> e) [mm]\summe_{n\ge1} \bruch{2^n}{n^2}[/mm]
>  
> f) [mm]\summe_{n\ge0} (\bruch{n + 1}{3n - 1})^{2n}[/mm]
>  a)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{(-1)^{n + 1} * \bruch{3(n + 1) + 2}{4(n + 1) + 1}}{(-1)^n * \bruch{3n + 2}{4n + 1}}[/mm]
> | = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{(-1)^{n + 1}}{(-1)^n} \bruch{\bruch{3(n + 1) + 2}{4(n + 1) + 1}}{\bruch{3n + 2}{4n + 1}}[/mm]
> | = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | (-1) * [mm]\bruch{(3n + 5) * (4n + 1)}{(4n + 5) * (3n + 2)}[/mm]
> | = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{12n^2 + 23n + 5}{12n^2 + 23n + 10}[/mm]
> = 1
>  
> Eigentlich ist diese Reihe ja konvergent, weil der Nenner
> immer ein Stück größer ist als der Zähler,

Das ist doch Quatsch ! bei [mm] $\sum [/mm] 1/n$  könntest Du genauso argumentieren, aber die harmonische Reihe ist divergent.

Zu Deiner Aufgabe: ist denn die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge ???



> aber was
> mach ich denn jetzt?
>  
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2^{n+1} + 3^{n + 1}}{2^{n+1} * 3^{n + 1}}}{\bruch{2^n + 3^n}{2^n * 3 ^n}}[/mm]
> => Umformen => [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2 * 2^n + 3 * 3^n}{6 * 2^n + 6 * 3^n}[/mm]
> = 0


Nein. Der Grenzwert = 1/2

>  
> Diese Reihe konvergiert. Stimmt das? Ja , nach dem Quotientenkrit.

Aber die Konvergenz kriegst Du einfacher so: die vorgelegte Reihe ist die Summe zweier konvergenter geom. Reihen:

                          [mm] \sum 1/2^n [/mm] und  [mm] \sum 1/3^n [/mm]

>  
> c) Ich nehm hier das Grenzwertkriterium ...
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{sin(n)}{n^3}}{\bruch{1}{n^2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(n) * n^2}{n^3}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(n)}{n}[/mm] = 0.


Und jetzt ???

>  
> Diese Reihe ist konvergent. Stimmt das?

Ja. Es ist [mm] $|\bruch{sin(n)}{n^3}| \le 1/n^3$ [/mm]   Wqas sagt das Maj. -krit. dazu ?

>  
> d) Damit hatte ich bisher am meisten Schwierigkeiten...
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{(n + 1) + 2\wurzel{n + 1}}}{\bruch{1}{n + 2\wurzel{n}}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n + 2\wurzel{n}}{(n + 1) + 2\wurzel{n + 1}}[/mm]
>  
> Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Habs auch mit dem
> Grenzwertkriterium versucht, kam folgendes raus:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\bruch{n^2}{n + 2\wurzel{n}}[/mm]


???????????????????

Überzeuge Dich von:  [mm] \bruch{1}{n+2 \wurzel{n}} \ge \bruch{1}{3n} [/mm]

>  
> e) Quotientenkriterium (ich schreib hier nur noch die
> Lösung hin, der Weg war hier ziemlich leicht, ich denk mal
> dass das richtig ist):
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{n + 1} * n^2}{(n + 1)^2 * 2^n}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{1 + \bruch{2}{n} + \bruch{1}{n^2}}[/mm]
> = 2
>  
> Reihe ist divergent

Korrekt


>  
> f)Ich schreib auch hier nur noch meine Lösung hin, weil
> heir der Weg auch ziemlich einfach war, ich denk mal das
> stimmt ...
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n + 1}{3n - 1})^2[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2 + 2n + 1}{9n^2 - 6n + 1}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{9}[/mm]

Hier hast Du das Wurzelkriterium bemüht

>  
> Die Reihe ist konvergent

Ja



FRED


Bezug
                
Bezug
Reihen und Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Do 19.08.2010
Autor: john_rambo

zu a) Nein, die Folge ist keine Nullfolge, von daher ist diese Reihe auch nicht konvergent. Das stimmt jetzt so, oder?

zu b) Wie kommst du auf Grenzwert 1/2? Und wie kommst du darauf, dass diese Reihe die Summe zweier konvergenter geom. Reihen ist?Ich steh da grad echt auf nem Schlauch ... :(



Bezug
                        
Bezug
Reihen und Konvergenz: zu Aufgabe (a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Do 19.08.2010
Autor: Loddar

Hallo john_rambo!


> zu a) Nein, die Folge ist keine Nullfolge, von daher ist
> diese Reihe auch nicht konvergent. Das stimmt jetzt so, oder?

[ok] Ja.


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Reihen und Konvergenz: zu Aufgabe (b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Do 19.08.2010
Autor: Loddar

Hallo john_rambo!


Klammere in Deinem obigen Bruchterm in Zähler und Nenner jeweils [mm] $3^n$ [/mm] aus und kürze.
Anschließend die Grenzwertbetrachtung ...


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Reihen und Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:15 Do 19.08.2010
Autor: john_rambo

Du meinst schon den Bruch hier oder ?

$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2 \cdot{} 2^n + 3 \cdot{} 3^n}{6 \cdot{} 2^n + 6 \cdot{} 3^n} [/mm] $

Ich hab wirklich keine Idee wie ich da [mm] 3^n [/mm] ausklammern soll ... :/

Bezug
                                        
Bezug
Reihen und Konvergenz: ausklammern
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Do 19.08.2010
Autor: Loddar

Hallo john_rambo!


[mm] $$\bruch{2 \cdot{} 2^n + 3 \cdot{} 3^n}{6 \cdot{} 2^n + 6 \cdot{} 3^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3^n*\left(\bruch{2 \cdot{} 2^n}{3^n} + \bruch{3 \cdot{} 3^n}{3^n}\right)}{3^n*\left(\bruch{6 \cdot{} 2^n}{3^n} + \bruch{6 \cdot{} 3^n}{3^n}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*\bruch{2^n}{3^n} + 3}{6*\bruch{2^n}{3^n} + 6} [/mm] \ = \ ...$$

Gruß
Loddar


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]