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| Aufgabe | Welche der nachfolgenden Reihen sind konvergent, welche divergent? Begründen Sie Ihre Antwort.
a) [mm] \summe_{n\ge0} (-1)^n \bruch{3n + 2}{4n + 1}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n\ge0} \bruch{2^n + 3^n}{2^n * 3 ^n}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n\ge1} \bruch{sin(n)}{n^3}
[/mm]
d) [mm] \summe_{n\ge1} \bruch{1}{n + 2\wurzel{n}}
[/mm]
e) [mm] \summe_{n\ge1} \bruch{2^n}{n^2}
[/mm]
f) [mm] \summe_{n\ge0} (\bruch{n + 1}{3n - 1})^{2n} [/mm] |
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{(-1)^{n + 1} * \bruch{3(n + 1) + 2}{4(n + 1) + 1}}{(-1)^n * \bruch{3n + 2}{4n + 1}} [/mm] | = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{(-1)^{n + 1}}{(-1)^n} \bruch{\bruch{3(n + 1) + 2}{4(n + 1) + 1}}{\bruch{3n + 2}{4n + 1}} [/mm] | = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | (-1) * [mm] \bruch{(3n + 5) * (4n + 1)}{(4n + 5) * (3n + 2)} [/mm] | = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{12n^2 + 23n + 5}{12n^2 + 23n + 10} [/mm] = 1
Eigentlich ist diese Reihe ja konvergent, weil der Nenner immer ein Stück größer ist als der Zähler, aber was mach ich denn jetzt?
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2^{n+1} + 3^{n + 1}}{2^{n+1} * 3^{n + 1}}}{\bruch{2^n + 3^n}{2^n * 3 ^n}} [/mm] => Umformen => [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2 * 2^n + 3 * 3^n}{6 * 2^n + 6 * 3^n} [/mm] = 0
Diese Reihe konvergiert. Stimmt das?
c) Ich nehm hier das Grenzwertkriterium ...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{sin(n)}{n^3}}{\bruch{1}{n^2}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(n) * n^2}{n^3} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(n)}{n} [/mm] = 0.
Diese Reihe ist konvergent. Stimmt das?
d) Damit hatte ich bisher am meisten Schwierigkeiten...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{(n + 1) + 2\wurzel{n + 1}}}{\bruch{1}{n + 2\wurzel{n}}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n + 2\wurzel{n}}{(n + 1) + 2\wurzel{n + 1}}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Habs auch mit dem Grenzwertkriterium versucht, kam folgendes raus:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{n^2}{n + 2\wurzel{n}}
[/mm]
e) Quotientenkriterium (ich schreib hier nur noch die Lösung hin, der Weg war hier ziemlich leicht, ich denk mal dass das richtig ist):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{n + 1} * n^2}{(n + 1)^2 * 2^n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{1 + \bruch{2}{n} + \bruch{1}{n^2}} [/mm] = 2
Reihe ist divergent
f)Ich schreib auch hier nur noch meine Lösung hin, weil heir der Weg auch ziemlich einfach war, ich denk mal das stimmt ...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n + 1}{3n - 1})^2 [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2 + 2n + 1}{9n^2 - 6n + 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}
[/mm]
Die Reihe ist konvergent
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Do 19.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Welche der nachfolgenden Reihen sind konvergent, welche
> divergent? Begründen Sie Ihre Antwort.
>
> a) [mm]\summe_{n\ge0} (-1)^n \bruch{3n + 2}{4n + 1}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n\ge0} \bruch{2^n + 3^n}{2^n * 3 ^n}[/mm]
>
> c) [mm]\summe_{n\ge1} \bruch{sin(n)}{n^3}[/mm]
>
> d) [mm]\summe_{n\ge1} \bruch{1}{n + 2\wurzel{n}}[/mm]
>
> e) [mm]\summe_{n\ge1} \bruch{2^n}{n^2}[/mm]
>
> f) [mm]\summe_{n\ge0} (\bruch{n + 1}{3n - 1})^{2n}[/mm]
> a)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{(-1)^{n + 1} * \bruch{3(n + 1) + 2}{4(n + 1) + 1}}{(-1)^n * \bruch{3n + 2}{4n + 1}}[/mm]
> | = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{(-1)^{n + 1}}{(-1)^n} \bruch{\bruch{3(n + 1) + 2}{4(n + 1) + 1}}{\bruch{3n + 2}{4n + 1}}[/mm]
> | = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | (-1) * [mm]\bruch{(3n + 5) * (4n + 1)}{(4n + 5) * (3n + 2)}[/mm]
> | = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{12n^2 + 23n + 5}{12n^2 + 23n + 10}[/mm]
> = 1
>
> Eigentlich ist diese Reihe ja konvergent, weil der Nenner
> immer ein Stück größer ist als der Zähler,
Das ist doch Quatsch ! bei [mm] $\sum [/mm] 1/n$ könntest Du genauso argumentieren, aber die harmonische Reihe ist divergent.
Zu Deiner Aufgabe: ist denn die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge ???
> aber was
> mach ich denn jetzt?
>
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2^{n+1} + 3^{n + 1}}{2^{n+1} * 3^{n + 1}}}{\bruch{2^n + 3^n}{2^n * 3 ^n}}[/mm]
> => Umformen => [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2 * 2^n + 3 * 3^n}{6 * 2^n + 6 * 3^n}[/mm]
> = 0
Nein. Der Grenzwert = 1/2
>
> Diese Reihe konvergiert. Stimmt das? Ja , nach dem Quotientenkrit.
Aber die Konvergenz kriegst Du einfacher so: die vorgelegte Reihe ist die Summe zweier konvergenter geom. Reihen:
[mm] \sum 1/2^n [/mm] und [mm] \sum 1/3^n
[/mm]
>
> c) Ich nehm hier das Grenzwertkriterium ...
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{sin(n)}{n^3}}{\bruch{1}{n^2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(n) * n^2}{n^3}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(n)}{n}[/mm] = 0.
Und jetzt ???
>
> Diese Reihe ist konvergent. Stimmt das?
Ja. Es ist [mm] $|\bruch{sin(n)}{n^3}| \le 1/n^3$ [/mm] Wqas sagt das Maj. -krit. dazu ?
>
> d) Damit hatte ich bisher am meisten Schwierigkeiten...
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{(n + 1) + 2\wurzel{n + 1}}}{\bruch{1}{n + 2\wurzel{n}}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n + 2\wurzel{n}}{(n + 1) + 2\wurzel{n + 1}}[/mm]
>
> Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Habs auch mit dem
> Grenzwertkriterium versucht, kam folgendes raus:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\bruch{n^2}{n + 2\wurzel{n}}[/mm]
???????????????????
Überzeuge Dich von: [mm] \bruch{1}{n+2 \wurzel{n}} \ge \bruch{1}{3n}
[/mm]
>
> e) Quotientenkriterium (ich schreib hier nur noch die
> Lösung hin, der Weg war hier ziemlich leicht, ich denk mal
> dass das richtig ist):
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{n + 1} * n^2}{(n + 1)^2 * 2^n}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{1 + \bruch{2}{n} + \bruch{1}{n^2}}[/mm]
> = 2
>
> Reihe ist divergent
Korrekt
>
> f)Ich schreib auch hier nur noch meine Lösung hin, weil
> heir der Weg auch ziemlich einfach war, ich denk mal das
> stimmt ...
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n + 1}{3n - 1})^2[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2 + 2n + 1}{9n^2 - 6n + 1}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{9}[/mm]
Hier hast Du das Wurzelkriterium bemüht
>
> Die Reihe ist konvergent
Ja
FRED
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zu a) Nein, die Folge ist keine Nullfolge, von daher ist diese Reihe auch nicht konvergent. Das stimmt jetzt so, oder?
zu b) Wie kommst du auf Grenzwert 1/2? Und wie kommst du darauf, dass diese Reihe die Summe zweier konvergenter geom. Reihen ist?Ich steh da grad echt auf nem Schlauch ... :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Do 19.08.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo john_rambo!
> zu a) Nein, die Folge ist keine Nullfolge, von daher ist
> diese Reihe auch nicht konvergent. Das stimmt jetzt so, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Do 19.08.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo john_rambo!
Klammere in Deinem obigen Bruchterm in Zähler und Nenner jeweils [mm] $3^n$ [/mm] aus und kürze.
Anschließend die Grenzwertbetrachtung ...
Gruß
Loddar
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Du meinst schon den Bruch hier oder ?
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2 \cdot{} 2^n + 3 \cdot{} 3^n}{6 \cdot{} 2^n + 6 \cdot{} 3^n} [/mm] $
Ich hab wirklich keine Idee wie ich da [mm] 3^n [/mm] ausklammern soll ... :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Do 19.08.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo john_rambo!
[mm] $$\bruch{2 \cdot{} 2^n + 3 \cdot{} 3^n}{6 \cdot{} 2^n + 6 \cdot{} 3^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3^n*\left(\bruch{2 \cdot{} 2^n}{3^n} + \bruch{3 \cdot{} 3^n}{3^n}\right)}{3^n*\left(\bruch{6 \cdot{} 2^n}{3^n} + \bruch{6 \cdot{} 3^n}{3^n}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*\bruch{2^n}{3^n} + 3}{6*\bruch{2^n}{3^n} + 6} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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