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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Di 12.11.2013 | | Autor: | Illihide |
| Aufgabe 1 | 1.Beweise:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}1/k!=e [/mm] mit [mm] e:=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n [/mm]
Entwickeln Sie dazu den Term (1 + [mm] 1/n)^n [/mm] mit Hilfe des Binomiallehrsatzes in eine Summe
und vergleichen diese mit der n-ten Partialsumme der Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}1/k! [/mm] Der Binomiallehrsatz
lautet: Für alle a,b (element) [mm] \IR [/mm] , n (element) [mm] \IN [/mm]
[mm] (a+b)^k=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^kb^{n-k} [/mm] |
Ich finde bei dieser Aufgabe keinen Anfang. Ich weis nicht wie ich den Beweis anfangen kann bzw wie dieser geführt werden kann. Mein Ansatz war [mm] e:=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n [/mm] = 1 aber das scheint ja anscheinend falsch zu sein da [mm] \summe_{k=0}^{\infty}1/k!=e [/mm] nicht gegen 1 kovergiert.
Also meine Frage: Wie komme ich hier weiter.
| Aufgabe 2 | 2.Zeigen Sie, dass für die n-te Partialsumme [mm] s_{n}=\summe_{k=0}^{n}1/k! [/mm] der Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}1/k!=e [/mm] gilt:
[mm] |e-s_{n}|<1/(n!n)
[/mm]
Beweisen Sie indirekt aus dieser Ungleichung, dass e irrational ist. |
Hier weis ich leider auch gar keinen Anfang.
LG Illi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Di 12.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 1.Beweise:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}1/k!=e[/mm] mit
> [mm]e:=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n[/mm]
>
> Entwickeln Sie dazu den Term (1 + [mm]1/n)^n[/mm] mit Hilfe des
> Binomiallehrsatzes in eine Summe
> und vergleichen diese mit der n-ten Partialsumme der Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}1/k![/mm] Der Binomiallehrsatz
> lautet: Für alle a,b (element) [mm]\IR[/mm] , n (element) [mm]\IN[/mm]
>
> [mm](a+b)^k=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^kb^{n-k}[/mm]
>
> Ich finde bei dieser Aufgabe keinen Anfang. Ich weis nicht
> wie ich den Beweis anfangen kann bzw wie dieser geführt
> werden kann. Mein Ansatz war
> [mm]e:=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n[/mm] = 1
auaaaa... Warum? Was steht in
![[]](/images/popup.gif) Bsp. 5.13
[mm] ${(1+1/n)^n}_n$ [/mm] wächst streng - damit muss schon [mm] $\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n \;\ge\; (1+1/1)^1=2$ [/mm] sein.
Sofern denn dieser Limes überhaupt existiert (das tut er aber, und man
kann (nicht ganz so) leicht zeigen, dass er [mm] $\le [/mm] 4$ ist.
> aber das
> scheint ja anscheinend falsch zu sein da
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}1/k!=e[/mm] nicht gegen 1 kovergiert.
In
[mm] $\sum_{k=0}^\infty [/mm] 1/k!=e$
muss das Symbol
[mm] $\sum_{k=0}^\infty [/mm] 1/k!$
diese Bedeutung haben:
[mm] $\lim_{N \to \infty}\sum_{k=0}^N 1/k!\,.$
[/mm]
Und Grenzwerte "sind", da spricht man nicht von "konvergiert gegen"...
> Also meine Frage: Wie komme ich hier weiter.
Erstmal ist
[mm] $(a+b)^{\red{n}}=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] a^kb^{n-k}\,,$
[/mm]
Du hast linkerhand fälschlicherweise ein [mm] $k\,$ [/mm] anstatt des roten n getippt.
Wenn nun
[mm] $(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] a^kb^{n-k}\,,$
[/mm]
für alle $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dann insbesondere auch für
[mm] $a:=1\,$ [/mm] und jedes [mm] $b=b_n=1/n\,.$
[/mm]
(Es kann auch sein, dass Du besser [mm] $a=a_n:=1/n$ [/mm] und [mm] $b:=1\,$ [/mm] betrachtest -
das musst Du halt testen... Ist Dir übrigens klar, dass
[mm] $(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] a^kb^{n-k}$
[/mm]
auch mit
[mm] $\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] a^{n-k}b^{k}$
[/mm]
übereinstimmt? Warum?)
Du sollst halt erstmal das machen, was man Dir im Tipp auch als Hilfestellung
anbietet (übrigens kannst Du, wenn Du Dir das Skript oben genauer anguckst,
wenigstens eine Stelle finden, wo indirekt diese Aufgabe hier mit drinsteckt:
Dort wird allgemeiner nämlich sogar
[mm] $\lim_{n \to \infty}(1+z/n)^n=\sum_{k=0}^\infty z^k/k!$
[/mm]
für jedes $z [mm] \in \IC$ [/mm] bewiesen... Aber wenn Du unbedingt willst, wirst Du
das sicher selbst im Skript finden, und dann kannst Du Dir angucken,
inwiefern Du das auf Deine Aufgabe übertragen bekommst...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Di 12.11.2013 | | Autor: | Illihide |
> [mm]{(1+1/n)^n}_n[/mm] wächst streng - damit muss schon [mm]\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n \;\ge\; (1+1/1)^1=2[/mm]
> sein.
> Sofern denn dieser Limes überhaupt existiert (das tut er
> aber, und man
> kann (nicht ganz so) leicht zeigen, dass er [mm]\le 4[/mm] ist.
>
>
> In
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty 1/k!=e[/mm]
>
> muss das Symbol
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty 1/k![/mm]
>
> diese Bedeutung haben:
>
> [mm]\lim_{N \to \infty}\sum_{k=0}^N 1/k!\,.[/mm]
>
> Und Grenzwerte "sind", da spricht man nicht von
> "konvergiert gegen"...
>
Ja du hast Recht. Im Nachhinein seh ich das ich ja noch gar nicht richtig drüber nachgedacht hab. Ich sehe meine Fehler.
> Erstmal ist
>
> [mm](a+b)^{\red{n}}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^kb^{n-k}\,,[/mm]
>
> Du hast linkerhand fälschlicherweise ein [mm]k\,[/mm] anstatt des
> roten n getippt.
>
> Wenn nun
>
> [mm](a+b)^{n}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^kb^{n-k}\,,[/mm]
>
> für alle [mm]a,b \in \IR[/mm] und [mm]n \in \IN[/mm] gilt, dann insbesondere
> auch für
>
> [mm]a:=1\,[/mm] und jedes [mm]b=b_n=1/n\,.[/mm]
Woher weißt du das b so definiert ist?
> (Es kann auch sein, dass Du besser [mm]a=a_n:=1/n[/mm] und [mm]b:=1\,[/mm]
> betrachtest -
> das musst Du halt testen... Ist Dir übrigens klar, dass
>
> [mm](a+b)^{n}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^kb^{n-k}[/mm]
>
> auch mit
>
> [mm]\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k}b^{k}[/mm]
>
> übereinstimmt? Warum?)
>
> Du sollst halt erstmal das machen, was man Dir im Tipp auch
> als Hilfestellung
> anbietet
Meinst da das ich den Binomiallehrsatz zuerst anwenden soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Di 12.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > [mm]{(1+1/n)^n}_n[/mm] wächst streng - damit muss schon [mm]\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n \;\ge\; (1+1/1)^1=2[/mm]
> > sein.
> > Sofern denn dieser Limes überhaupt existiert (das tut
> er
> > aber, und man
> > kann (nicht ganz so) leicht zeigen, dass er [mm]\le 4[/mm] ist.
> >
>
> >
> > In
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^\infty 1/k!=e[/mm]
> >
> > muss das Symbol
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^\infty 1/k![/mm]
> >
> > diese Bedeutung haben:
> >
> > [mm]\lim_{N \to \infty}\sum_{k=0}^N 1/k!\,.[/mm]
> >
> > Und Grenzwerte "sind", da spricht man nicht von
> > "konvergiert gegen"...
> >
> Ja du hast Recht. Im Nachhinein seh ich das ich ja noch gar
> nicht richtig drüber nachgedacht hab. Ich sehe meine
> Fehler.
>
> > Erstmal ist
> >
> > [mm](a+b)^{\red{n}}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^kb^{n-k}\,,[/mm]
>
> >
> > Du hast linkerhand fälschlicherweise ein [mm]k\,[/mm] anstatt des
> > roten n getippt.
> >
> > Wenn nun
> >
> > [mm](a+b)^{n}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^kb^{n-k}\,,[/mm]
> >
> > für alle [mm]a,b \in \IR[/mm] und [mm]n \in \IN[/mm] gilt, dann insbesondere
> > auch für
> >
> > [mm]a:=1\,[/mm] und jedes [mm]b=b_n=1/n\,.[/mm]
>
> Woher weißt du das b so definiert ist?
das war im Definitionssinne gemeint:
[mm] $b=b_n\red{\;:=\;}1/n\,.$
[/mm]
Na schau doch mal:
Wenn man
[mm] $(\star)$ $(\red{a}+\blue{\text{b}})^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] a^k b^{n-k}$
[/mm]
hat, dann liegt es doch bei
[mm] $(\red{1}+\blue{\text{1/n}})^n$
[/mm]
nahe, mal die vorangegangene Formel [mm] $(\star)$ [/mm] mit [mm] $\red{a:=1}$ [/mm] und [mm] $\blue{\text{b}:=\text{1/n}}$ ($=\blue{\text{b}_\text{n}}$)
[/mm]
auszutesten!
> > (Es kann auch sein, dass Du besser [mm]a=a_n:=1/n[/mm] und [mm]b:=1\,[/mm]
> > betrachtest -
> > das musst Du halt testen... Ist Dir übrigens klar, dass
> >
> > [mm](a+b)^{n}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^kb^{n-k}[/mm]
> >
> > auch mit
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k}b^{k}[/mm]
> >
> > übereinstimmt? Warum?)
> >
> > Du sollst halt erstmal das machen, was man Dir im Tipp auch
> > als Hilfestellung
> > anbietet
>
> Meinst da das ich den Binomiallehrsatz zuerst anwenden
> soll?
Was sollte man sonst mit dem Tipp anfangen? Essen läßt er sich ja leider
nicht. 
Also: Ja! 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Di 12.11.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Schau mal in Satz 7.4. Bei Deiner Aufgabe kannst Du dann mal
[mm] $\left|(1+1/n)^n -\sum_{k=0}^\infty 1/k!\right|$
[/mm]
abschätzen!
Gruß,
Marcel
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