Reihen von Mengen umformen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Mo 21.10.2013 | | Autor: | Herbart |
Hallo zusammen,
kann man folgendermaßen umformen:
[mm] $\summe_{i=1}^{\infty}f_1(A_i)+...+\summe_{i=1}^{\infty}f_n(A_i)=\summe_{i=1}^{\infty}(f_1(A_i)+...+f_n(A_i))$
[/mm]
Dabei sind die [mm] $(A_i)_{i\in\IN}$ [/mm] Folgen von paarweise disjunkten Mengen in einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] und die [mm] $f_j$ [/mm] Maße.
Intuitiv würde ich sagen, dass das schon richtig ist, da die einzelnen [mm] f_j(A_i)\ge0 [/mm] (es sollte daher nichts unerwartetes passieren, dass die Gleichheit gefährden würde), aber im unendlichen bin ich immer etwas vorsichtiger.
MfG Herbart
(Thema passt auch zu Maßtheorie.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Mo 21.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> kann man folgendermaßen umformen:
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> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}f_1(A_i)+...+\summe_{i=1}^{\infty}f_n(A_i)=\summe_{i=1}^{\infty}(f_1(A_i)+...+f_n(A_i))[/mm]
ja, das ist richtig.
> Dabei sind die [mm](A_i)_{i\in\IN}[/mm] Folgen von paarweise
> disjunkten Mengen in einer [mm]\sigma-Algebra[/mm] und die [mm]f_j[/mm]
> Maße.
> Intuitiv würde ich sagen, dass das schon richtig ist, da
> die einzelnen [mm]f_j(A_i)\ge0[/mm] (es sollte daher nichts
> unerwartetes passieren, dass die Gleichheit gefährden
> würde), aber im unendlichen bin ich immer etwas
> vorsichtiger.
Unterscheide 2 Fälle:
1. jede der Reihen [mm] \summe_{i=1}^{\infty}f_j(A_i) [/mm] konvergiert in [mm] \IR.
[/mm]
Aus Analysis I wissen wir dann, dass auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(f_1(A_i)+...+f_n(A_i)) [/mm] konvergiert und
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}f_1(A_i)+...+\summe_{i=1}^{\infty}f_n(A_i)=\summe_{i=1}^{\infty}(f_1(A_i)+...+f_n(A_i)) [/mm] $
gilt.
Fall 2. es ex. ein j [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] mit: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}f_j(A_i) [/mm] ist divergent.
Dann ist [mm] \summe_{i=1}^{\infty}f_1(A_i)+...+\summe_{i=1}^{\infty}f_n(A_i)= \infty
[/mm]
, da alle [mm] f_m(A_i) \ge [/mm] 0 sind. Aus diesem Grund ist auch
[mm] f_1(A_i)+...+f_n(A_i) \ge f_j(A_i) [/mm] für alle i.
Damit ist auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(f_1(A_i)+...+f_n(A_i)) [/mm] = [mm] \infty.
[/mm]
FRED
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> MfG Herbart
>
> (Thema passt auch zu Maßtheorie.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Mo 21.10.2013 | | Autor: | Herbart |
Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung. Im 2. Fall war ich mir unsicher. Manchmal bin ich gedanklich wohl in eine Richtung etwas zu eingefahren 
MfG Herbart
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