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| Aufgabe | Seien f(x) = [mm] \ln\bruch{1}{1-x} [/mm] und g(x) = [mm] \ln(1+x). [/mm] Bestimmen Sie, für welche x [mm] \in \IR [/mm] dies Funktionen defiert sind und berechnen sie die Taylorreihe. Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert diese? Folgern Sie aus Ihren Ergebnissen die Identität
ln [mm] \bruch{1+x}{1-x} [/mm] = 2 * (x + [mm] \bruch{x^{3}}{3} [/mm] + [mm] \bruch{x^{5}}{5} [/mm] + ... ).
Wo konvergiert diese Reihendarstellung? Beweisen Sie Ihre Antwort. |
Also f(x) ist für alle positive x außer 1 definiert und g(x) für alle x die größer sind als -1 oder???
Aber wie mache ich dann bei dieser Aufgabe weiter??? Kann mir vielleicht jemand helfen???
Grüße :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Di 10.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Seien f(x) = [mm]\ln\bruch{1}{1-x}[/mm] und g(x) = [mm]\ln(1+x).[/mm]
> Bestimmen Sie, für welche x [mm]\in \IR[/mm] dies Funktionen defiert
> sind und berechnen sie die Taylorreihe. Für welche x [mm]\in \IR[/mm]
> konvergiert diese? Folgern Sie aus Ihren Ergebnissen die
> Identität
> ln [mm]\bruch{1+x}{1-x}[/mm] = 2 * (x + [mm]\bruch{x^{3}}{3}[/mm] +
> [mm]\bruch{x^{5}}{5}[/mm] + ... ).
> Wo konvergiert diese Reihendarstellung? Beweisen Sie Ihre
> Antwort.
> Also f(x) ist für alle positive x außer 1 definiert
das ist sicher falsch, lna ist fuer [mm] a\le0 [/mm] nicht definiert, also nur fuer 1-x>0 oder x<1!
>und
> g(x) für alle x die größer sind als -1 oder???
>
> Aber wie mache ich dann bei dieser Aufgabe weiter??? Kann
> mir vielleicht jemand helfen???
Kennst du nicht die Taylorformel? sonst schlag sie nach!
dann die Ableitungen der 2 fkt. fuer x=0 bestimmen und einsetzen.
da du sicher ne Reihe fuer [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] kennst (geom. Reihe kannst du auch die nehmen ueberleg warum!
[mm] ln(1+x)=-ln\bruch{1}{1+x}
[/mm]
und fuer den 2. Teil denk dran [mm] ln\bruch{a}{b}=lna-lnb
[/mm]
Gruss leduart
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Klar... stand mit dem Definitionsbereich irgendwie auf dem Schlauch ... danke :)
Aber bei der Taylorreihe komm ich irgendwie auch auf keinen grünen Zweig ... also meine Berrechnungen:
Taylorreihe von f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(0)}{k!}x^{k} [/mm] + [mm] R_{n}(x) [/mm] jetzt habe ich die Fkt eingesetzt => [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{\ln(1)}{k!}x^{k} [/mm] + [mm] R_{n}(x) [/mm] jedoch da [mm] \ln(1)=0 [/mm] ist würde ja das Taylorpolynom immer weggfallen für alle k und es würde immer das Restgleid übrigbleiben ... das kann doch nicht richtig sein oder?
bei g(x) habe ich etwas ähnliches heraus [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{\ln(1)}{k!}x^{k} [/mm] + [mm] R_{n}(x) [/mm] da in der Klammer vom [mm] \ln [/mm] auch wieder 1 heraus kommt wäre das auch wieder 0 + Restglied für alle k ...
bin ich auf dem Holzweg???
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Mi 11.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast scheints die Taylorreihe nicht kapiert: die Funktion wird deargestellt durch ihren Wert UND DEN WERT ALLER ABLEITUNGEN in einem Punkt!
> Aber bei der Taylorreihe komm ich irgendwie auch auf keinen
> grünen Zweig ... also meine Berrechnungen:
>
> Taylorreihe von f(x) =
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{k}(0)}{k!}x^{k}[/mm] + [mm]R_{n}(x)[/mm] jetzt
Die eigentliche TR geht bis [mm] \infty!
[/mm]
> habe ich die Fkt eingesetzt =>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{\ln(1)}{k!}x^{k}[/mm] + [mm]R_{n}(x)[/mm] jedoch
falsch, du hast nur f(0) eingesetzt aber [mm] f^{k}(0) [/mm] besser [mm] f^{(k)}(0) [/mm] ist doch die k-te Ableitung von f!
und was hast du mit dem Hinweis auf die geom. Reihe gemacht?
> da [mm]\ln(1)=0[/mm] ist würde ja das Taylorpolynom immer weggfallen
> für alle k und es würde immer das Restgleid übrigbleiben
> ... das kann doch nicht richtig sein oder?
Damit hast du recht!
> bei g(x) habe ich etwas ähnliches heraus
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{\ln(1)}{k!}x^{k}[/mm] + [mm]R_{n}(x)[/mm] da in
> der Klammer vom [mm]\ln[/mm] auch wieder 1 heraus kommt wäre das
> auch wieder 0 + Restglied für alle k ...
>
> bin ich auf dem Holzweg???
Ja, und auf nem sehr morschen!
Gruss leduart
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Achso, d.h. ich habe die Taylorreihe im Punkt 0 entwickelt, aber da ist der ln ja gar nicht definiert :(
Also muss ich nun das allgemein lassen...
Ich habe das jetzt mal so gemacht:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{\ln^{k}(\bruch{1}{1-x})}{k!}y^{k}+R_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x}x+\bruch{1}{2*(1-x)^2}x^{2}+...+R_{n}(x)
[/mm]
stimmt das jetzt etwas mehr???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Mi 11.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Achso, d.h. ich habe die Taylorreihe im Punkt 0 entwickelt,
> aber da ist der ln ja gar nicht definiert :(
du solltest ln(1+x) oder ln/bruch{1}{1-x} um x=0 entwickeln, und natuerlich sind beide da definiert!
> Also muss ich nun das allgemein lassen...
>
> Ich habe das jetzt mal so gemacht:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{\ln^{(k)}(\bruch{1}{1-x})}{k!}y^{k}+R_{n}(x)[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1-x}x+\bruch{1}{2*(1-x)^2}x^{2}+...+R_{n}(x)[/mm]
>
> stimmt das jetzt etwas mehr???
Wenn du mit etwas mehr meinst, dass da jetzt ein paar Ableitungen richtig sind ja, aber eigentlich ists jetzt noch schlechter.
Ich hatte doch geschrieben ABLEITUNGEN IN EINEM PUNKT
sonst haettest du ja gar keine potenzreihe und der Ausdruck ist wirklich entstzlich sinnlos.
Die Ableitungen immer in einem Pkt, also [mm] f^{(k)}(x_0)*(x-x_0)^k [/mm] bei dir [mm] x_0=0
[/mm]
Bitte mach einen Unterschied zwischen [mm] f^n [/mm] die Funktion zur n-ten potenz und [mm] f^{(n)} [/mm] der n ten Ableitung der fkt!
und das [mm] R_n [/mm] gehoert nur bei Annaeherung einer fkt durch einen Teil der Taylorreihe dazu, nicht bei der eigentlichen TR, die bis [mm] \infty [/mm] geht!
Gruss leduart
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Okay versuche ich es nochmal ...
Also habe jetzt glaube ich meinen Fehler etwas besser verstanden ... *hoff*
bekomme nun als Taylorreihe heraus:
[mm] x+\bruch{1}{2}x^{2}+...+R_{n}(x) [/mm] wieviele Ableitungen muss ich davon angeben ich meine diese Funktion ist unendlich oft diffbar oder? d.h. ich kann sehr viele Gleider angeben, aber ich glaube hier kommt dann die Sache mit der geometrischen Reihe ins Spiel?! Ich könnte diese "Folge" als Formel schreiben.
Ist das jetzt besser? Darf ich das Restgleid so allgemein stehen lassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Do 12.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt ists richtig, welche soll es sein? ausser deinem hartnaeckigen [mm] R_n
[/mm]
und natuerlich sollst du die Summe allgemein hinschreiben! also [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_ix^i [/mm] die [mm] a_i [/mm] musst du liefern!
und danach feststellen fuer welche x das konvergiert!
Gruss leduart
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Also ich bekomme für meine [mm] a_{i} \bruch{1}{i!} [/mm] heraus,
dann wäre meine Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i!}x^{i}
[/mm]
denn meine ersten "Folgenglieder" sind dann [mm] x,\bruch{1}{2}x^{2},\bruch{1}{6}x^{3}... [/mm] das sind auch die von der Taylorreihe oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Do 12.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein falsch, nimm noch mal die 3.te und 4-te Ableitung dazu, dann siehst du deinen Fehler! schon dein drittes glied ist falsch, nicht 1/6 sondern 1/3! du bist immer eins zu schnell!
ausserdem ists nur die TR solange es konvergiert., das musst du noch zeigen!
Gruss leduart
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Ja, aber [mm] \bruch{1}{3!} [/mm] ist doch [mm] \bruch{1}{6} [/mm]
Und um das zu beweisen muss ich wieder den Konvergenzradius ausrechnen von dieser dann ergeben Reihe???
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Hallo,
ja [mm] \frac{1}{3!} [/mm] ist schon = [mm] \frac{1}{6},
[/mm]
aber es geht doch darum, die Sache in das TP zu packen.
Schreib doch mal wie leduard gesagt hat die ersten 4 Ableitungen von [mm] f(x)=ln\left(\frac{1}{1-x}\right) [/mm] hin, dann erkennst du ein Schema.
Da dann jeweils 0 einsetzen also [mm] f^{(k)}(0) [/mm] bestimmen, dann vereinfacht sich das noch mehr und in die Formel
[mm] \summe_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k [/mm] einsetzen
Aber wie gesagt, schreib mal ein paar Ableitungen auf
Gruß
schachuzipus
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Also die ersten 4 Ableitungen sind:
[mm] \ln'(\bruch{1}{1-x}=\bruch{1}{1-x}
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{1-x})'=\bruch{1}{(1-x)^{2}}
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{(1-x)^{2}})'=\bruch{2}{(1-x)^{3}}
[/mm]
[mm] (\bruch{2}{(1-x)^{3}})'=\bruch{6}{(1-x)^{5}}
[/mm]
Stimmen die soweit?
So nun setzte ich in die TR für x=0 ein.
=> x + [mm] \bruch{1}{2}x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}x^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}x^{4}+...+R_{n}(x)
[/mm]
Achso jetzt weiß ich was mit zu schnell gemeint war :)
Sind dann meine [mm] a_{i} [/mm] vielleicht [mm] \bruch{1}{i}???
[/mm]
für i=1 ergibt es 1
für i=2 ergibt es [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
für i=3 ergibt es [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ... und so weiter??? stimmt es jetzt vielleicht etwas mehr?
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Also wenn ich [mm] \ln(x) [/mm] ableite mache ich das so:
äußere Ableitung: [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{1-x}}
[/mm]
und meine Innere Ableitung: [mm] \bruch{0- -1}{(1-x)^{2}} [/mm] nach der Quotientenregel...
so jetzt multipliziere ich die beiden miteinander:
[mm] (1-x)*\bruch{1}{(1-x)^{2}}=\bruch{1}{1-x} [/mm] irgendwie kommt bei mir kein minus heraus??? warum??
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Hallo, da kommt auch kein Minus raus:
[mm] f(x)=\ln\left(\frac{1}{1-x}\right)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{\frac{1}{1-x}}\cdot{}\left(\frac{1}{1-x}\right)'=(1-x)\cdot{}\frac{-1}{(1-x)^2}\cdot{}-1=\frac{1}{1-x}
[/mm]
Damit dann f'',.... berechnen 
LG
schachuzipus
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Habe oben schon alle 4 Ableitungen brechnet sind diese dann richtig?
Dank dir ... war schon fast am verzweifeln :)
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jo, s. Mitteilung
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
ich sehe gerade, dass du oben im post die ersten 4 Ableitungen schon bestimmt hast,
die sind alle richtig bis auf die 4te, da muss im Nenner [mm] (1-x)^4 [/mm] stehen
Gruß
schachuzipus
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Also ist dann meine TR [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{i}x^{i}
[/mm]
Und davon muss ich nun nur noch den Konvergenzradius bestimmen und dann bin ich endlich fertig mit der Aufgabe?
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Hallo nochmal
> Also ist dann meine TR [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{i}x^{i}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Und davon muss ich nun nur noch den Konvergenzradius
> bestimmen und dann bin ich endlich fertig mit der Aufgabe?
lt. Aufgabenstellung musste noch die TR zu [mm] \ln(1+x) [/mm] bestimmen und diese Identität [mm] \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\cdot(.......) [/mm] beweisen, also noch einiges zu tun
LG
schachuzipus
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Also dann mache ich wiedermal die Ableitungen von [mm] \ln(1+x):
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{1}{1+x}
[/mm]
f''(x)= [mm] -\bruch{1}{(1+x)^{2}}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{2}{(1+x)^{3}}
[/mm]
[mm] f^{IV}=-\bruch{6}{(1+x)^{4}} [/mm] ...
Also ist hier die Taylorreihe fast wie oben :)
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{i}}{i}x^{i}
[/mm]
Und die Identität: kann man die so zeigen:
[mm] \ln(\bruch{1+x}{1-x})=\ln(1+x)-\ln(\bruch{1}{1-x})
[/mm]
dafür kann ich dann meine zwei Taylorreihen einsetzten und dadurch fallen dann die Terme mit den positiven Hochzahlen weg und die ungerade gibt es zweimal. Die 2 klammert man aus und man müsste den oberen Term rausbekommen :)
Stimmt das so??? *hoffentlich*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Do 12.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du bist wirklich immer eins zu schnell, und damit leichtsinnig!
> Also dann mache ich wiedermal die Ableitungen von
> [mm]\ln(1+x):[/mm]
>
> f'(x)= [mm]\bruch{1}{1+x}[/mm]
> f''(x)= [mm]-\bruch{1}{(1+x)^{2}}[/mm]
> [mm]f'''(x)=\bruch{2}{(1+x)^{3}}[/mm]
> [mm]f^{IV}=-\bruch{6}{(1+x)^{4}}[/mm] ...
>
> Also ist hier die Taylorreihe fast wie oben :)
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{i}}{i}x^{i}[/mm]
>
> Und die Identität: kann man die so zeigen:
>
> [mm]\ln(\bruch{1+x}{1-x})=\ln(1+x)-\ln(\bruch{1}{1-x})[/mm]
falsch!
[mm]\ln(\bruch{1+x}{1-x})=\ln(1+x)+\ln(\bruch{1}{1-x})[/mm]
> dafür kann ich dann meine zwei Taylorreihen einsetzten und
> dadurch fallen dann die Terme mit den positiven Hochzahlen
> weg und die ungerade gibt es zweimal. Die 2 klammert man
> aus und man müsste den oberen Term rausbekommen :)
ausser dass positiv und gerade was anderes ist!
> Stimmt das so??? *hoffentlich*
na ja!
Und noch den Konvergenzradius!
Gruss leduart
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Achso bei der Taylorreihe stimmte das Vorzeichen nicht ganz es müsste [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{i+1}}{i}x^{i} [/mm] heißen oder???
Denn Kovergenzradius bestimmte ich bei [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i}x^{i} [/mm] mit dem Quotientenkriterium:
[mm] \limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{n}{n+1}=1 [/mm] somit ist die Reihe konvergent für alle |x|< 1 und divergiert für alle |x|>1
Die andere Reihe habe ich mit dem Wurzelkriterium gemacht
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[i]{\bruch{(-1)^{i+1}}{i}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[i]{\bruch{(1)}{i}}= [/mm] 1 = Konvergenzradius
somit konvergiert diese Reihe für die selbe x wie wie die Reihe oben, oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Do 12.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Achso bei der Taylorreihe stimmte das Vorzeichen nicht ganz
> es müsste [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{i+1}}{i}x^{i}[/mm]
> heißen oder???
ja
> Denn Kovergenzradius bestimmte ich bei
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i}x^{i}[/mm] mit dem
> Quotientenkriterium:
KEIN KRITERIUM!
siehe den anderen post! r nachsehen!
> [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{n}{n+1}=1[/mm] somit ist die
> Reihe konvergent für alle |x|< 1 und divergiert für alle
> |x|>1
>
> Die andere Reihe habe ich mit dem Wurzelkriterium gemacht
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[i]{\bruch{(-1)^{i+1}}{i}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[i]{\bruch{(1)}{i}}=[/mm] [/i][/i][/mm]
> [mm][i][i]1 = Konvergenzradius[/i][/i][/mm]
> [mm][i][i] [/i][/i][/mm]
> [mm][i][i]somit konvergiert diese Reihe für die selbe x wie wie die [/i][/i][/mm]
> [mm][i][i]Reihe oben, oder???[/i][/i][/mm]
> [mm][i][i] [/i][/i][/mm]
n,i Durcheinander, Absolutstriche fehlen! was ist [mm] \wurzel{-1}? [/mm] r zwar richtig, aber falsche Formel, nur richtig weil 1/1=1!
Gruss leduart
randpunkte x=1,-1 einzeln zeigen!
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Also ich habe nun den Link nochmal gelesen und irgendwie ähneln diese Verfahren schon dem Wurzel-, bzw. Quotientenkriterium außer das man am Ende vom Ergebnis den Kehrwert nimmt, bzw. aus diesen Kriterien den Kehrwert berechnet ... ehrlich gesagt hatten wir dies glaube ich auch so an der Uni gelernt. :(
Konvergenzradius bsp [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} [/mm] anstatt wie beim Quotientenkriterium [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
Ist das denn falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Do 12.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist das richtige r, also hast du bei a) r=0
und wenn du einfach das Quotientenkrit. mit r vertauschst, kommt nur das richtige raus, wenn zufaellig r=1.
natuerlich "aehneln" sich die Rechnungen, das ist ja auch der Weg um zu zeigen, dass das der Konv. radius ist.
Gruss leduart
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Achso und in meinem Fall war dies gerade 1 darum stimmte es.
Vielen Dank für deine Hilfe.
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