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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:35 Sa 15.09.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | a) Leiten sie für die Funktion [mm] f_{(x)}=tanx [/mm] eine Differentialgleichung erster Ordnung her. Differenzieren Sie dazu die Funktion und beachten Sie gegebenenfalls, dass es verschiedene Darstellungen dieser Ableitung gibt,
b) Ermitteln Sie mit hHilfe der Differentialgleichung aus a)über den Ansatz:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^{k} [/mm] ; [mm] \summe_{k=1}^{\infty}k*a_{k}*x^{k-1}
[/mm]
Die ersten vier Glieder der Reihenentwicklung für tan x. |
Hi,
ich verzweifel an der Aufgabenteil b).... Ich habe zwar eine ziemlich ausführliche Musterlösung aber ich raff das trotzdem nicht. Kann mir bitte jemand anhand der Musterlösung erklären was da gemacht wurde. Wenns geht ziemlich genau, ich bin nicht so der Reihen-fan und sitz da jetzt schon geraume Zeit an der sch... Lösung und versuche mir klarzumachen wie das funzt, komm aber nicht drauf.
also, erstmal zu a) (konnte ich selber lösen):
Ergebnis: [mm] f_{(x)}'=1+(tan x)^{2} [/mm] d.h. [mm] y'=1+y^{2}
[/mm]
So, jetzt die Musterlösung zu b)
Gesucht: Reihenentwicklung für eine Funktion [mm] f_{(x)} [/mm] für die gilt: [mm] f_{(0)}=0 [/mm] und [mm] f'_{(x)}=1+f^{2}_{(x)}
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm] 1+f^{2}_{(x)}=f'_{(x)}
[/mm]
[mm] 1+(\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^{k})^{2}=\summe_{k=1}^{\infty}k*a_{k}*x^{k-1}
[/mm]
[mm] 1+a_{0}^{2}+(2a_{0}a_{1})*x+(2a_{0}a_{2}+a_{1}^{2})x^{2}+(2a_{0}a_{3}+2a_{1}a_{2})*x^{3}+(2a_{0}a_{4}+2a_{1}a_{3}+a_{2}^{2})*x^{4}+(2a_{0}a_{5}+2a_{1}a_{4}+2a_{3})[an [/mm] der Stelle ist die Kopie schlecht, schaut aus als käme noch eine "*2" und dann [mm] x^{5}]+...=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}...
[/mm]
Puhhhh
mit [mm] a_{0}=0 [/mm] folgt
[mm] a_{1}=1
[/mm]
[mm] 2a_{2}=2a_{0}a_{1}=0
[/mm]
[mm] 3a_{3}=2a_{0}a_{3}+a_{1}^{2}=1 [/mm] ; [mm] a_{3}=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] 4a_{4}=2a_{0}a_{3}+2a_{1}a_{2}=0 [/mm] ; [mm] a_{4}=0
[/mm]
[mm] 5a_{5}=2a_{0}a_{4}+a_{1}a_{3}+a_{2}^{2}=\bruch{2}{3} [/mm] ; [mm] a_{5}=\bruch{2}{15}
[/mm]
[mm] 6a_{6}=2a_{0}a_{5}+2a_{1}a_{4}+2a_{2}a_{3}=0 [/mm] ; [mm] a_{6}=0
[/mm]
[mm] 7a_{7}=2a_{0}a_{6}+2a_{1}a_{5}+2a_{2}a_{4}+a_{3}^{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{15}+\bruch{1}{9}=\bruch{17}{45} [/mm] ; [mm] a_{7}=\bruch{17}{315}
[/mm]
allgemein: [mm] a_{2k}=0 [/mm] ; [mm] a_{2k+1}=\summe_{l+n=k}^{}a_{l}a_{n}
[/mm]
Reihenentwicklung:
[mm] f_{(x)}=x+\bruch{1}{3}x^{3}+\bruch{2}{15}x^{5}+\bruch{17}{315}x^{7}
[/mm]
So fertig. Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen und bedanke mich schonmal bei Euch!
LG
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Da hier die ersten 5. Glieder der Reihenentwicklung gesucht wird, kann man $f(x)_$ wie folgt allgemein als Reihe darstellen:
$$f(x) \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k*x^k [/mm] \ = \ [mm] a_0*x^0+a_1*x^1+a_2*x^2+a_3*x^3+a_4*x^4+a_5*x^5+...$$
[/mm]
$$= \ [mm] a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3+a_4*x^4+a_5*x^5+...$$
[/mm]
[mm] $$\approx [/mm] \ [mm] a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3+a_4*x^4+a_5*x^5$$
[/mm]
Wenn wir das nun ableiten erhalten wir:
$$f'(x) \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] a_1+2a_2*x+3a_3*x^2+4a_4*x^3+5a_5*x^4$$
[/mm]
Diese Terme setzen wir nun in die DGL ein:
[mm] $$1+[f(x)]^2 [/mm] \ = \ f'(x)$$
[mm] $$1+\left[ \ a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3+a_4*x^4+a_5*x^5 \ \right]^2 [/mm] \ = \ [mm] a_1+2a_2*x+3a_3*x^2+4a_4*x^3+5a_5*x^4$$
[/mm]
Nun also die Klammer ausmultiplizieren und nach den einzelnen $x_$-Potenzen sortieren. Anschließend wird dann ein Koeffzientenvergleich durchgeführt. Denn zwei Polynome sind genau dann identisch, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:39 So 16.09.2007 | | Autor: | polyurie |
super danke, hat funktioniert. War aber verdammt viel arbeit!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:32 So 16.09.2007 | | Autor: | Loddar |
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> War aber verdammt viel arbeit!!!
... das hat ja auch keiner bestritten im Vorfeld! 
Gruß
Loddar
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