Reihenentwicklung Tangens < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Zu der Aufgabe oben habe ich einige Fragen:
1. Es irritiert mich etwas, dass ich den Konvergenzradius bestimmen soll, bevor ich überhaupt die Reihenentwicklung gemacht habe. Gibt es da irgendwelche Sätze, die mir schon vorher eine Prognose ermöglichen? (Ich vermute ja, dass der Konvergenzradius [mm] $\bruch{\pi}{2}$ [/mm] oder so ist, wenn ich an den reellen Tangens denke).
2.
$f(z) = [mm] \tan(z)$
[/mm]
$f(0) = 0$
$f'(z) = [mm] 1+\tan^{2}(z)$
[/mm]
$f'(0) = 1$
$f''(z) = [mm] 2*\tan(z)*(1+\tan^{2}(z))$
[/mm]
$f''(0) = 0$
$f'''(z) = [mm] 2*(1+\tan^{2}(z))^{2}+4*\tan^{2}(z)*(1+\tan^{2}(z))$
[/mm]
$f'''(0) = 2$
$f''''(z) = [mm] 8*\tan(z)*(1+\tan^{2}(z))^{2}+\left(8*\tan(z)*(1+\tan^{2}(z))^{2} + 8*\tan^{3}(z)*(1+\tan^{2}(z))\right)$
[/mm]
$f''''(z) = 0$
Also folgende Reihenglieder:
[mm] $\tan(z) \approx [/mm] z + [mm] \bruch{2}{3!}*z^{3} [/mm] = z + [mm] \bruch{1}{3}*z^{3}$
[/mm]
Stimmt das? Gibt es einfachere Wege, auf die Reihenglieder zu kommen als die Funktion 4-mal abzuleiten?
Viele Grüße und danke für eure Hilfe, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Stefan,
die Rechnung ist okay, eine einfachere Methode wüsste ich jetzt auch nicht. Die Reihenentwicklung macht Schwierigkeiten, wenn Du auf die Nullstellen des Cosinus triffst. Es gibt also Pole an den Stellen
$$ z = [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] + k) [mm] \cdot \pi \, [/mm] . $$
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo und danke für deine Antwort!
Kann ich dann daraus schließen, dass der Konvergenzradius [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ist?
Vielen Dank und viele Grüße, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo und danke für deine Antwort!
Hallo, ich habe hier vor zwei Wochen etwa die gleiche Frage gestellt. Bloss zum $tanh$, der bekanntlich denselben Konvergenzradius bei $z=0$ besitzt.
https://matheraum.de/read?t=545648
> Kann ich dann daraus schließen, dass der Konvergenzradius
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] ist?
Ja kannst Du. Aber eine Begründung fällt mir gerade nicht ein. Zumindest kann er aufgrund der Pole nicht größer sein.
> Vielen Dank und viele Grüße, Stefan.
Gruß Denny
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