Reihenkonv mit quotientenkrit? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo an euch alle,
ich bin langsam dabei durchzusteigen wie man die Reihenkonvergenz bzw -divergenz nachweißt, nur bei einer Aufgabe komm ich nicht drauf. Vielleicht könnte mir ja einer von euch weiterhelfen:
Wie zeige ich ob die Reihe [mm] \summe_{i=0}^{n}n^k*x^n [/mm] (für k Element N, und x Element R mit |x| < 1)
konvergiert?
Ich habe es mit dem Quotientenkriterium probiert, komme aber dann auf kein Ergebnis, es kommt dann raus:
[mm] (n+1)^k/n^k [/mm] = ???
Ich kann hier leider nichts rauslesen, ob es ">1" oder "<1" ist.
Vielen vielen dank schonmal an alle.
Bis dann, Willy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 Mi 16.11.2005 | | Autor: | willymathe |
Hallo ich hab leider einen kleiner Fehler in meiner Frage gemacht.
Wenn ich durchrechne kommt raus:
[mm] x*(n+1)^k/n^k [/mm]
statt wie ich zuerst geschrieben habe [mm] (n+1)^k/n^k. [/mm] Dann wäre es klar, dass es ">1" ist.
Tut mir sehr Leid für den Schreibfehler
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Hallo,
also das Quotientenkriterium anzuwenden ist hier richtig.
Gemäß dem Quotientenkriterium gilt
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=(\bruch{n+1}{n})^{k}*x\to [/mm] x
da ja [mm] (\bruch{n+1}{n})=1+\bruch{1}{n}\to [/mm] 1 strebt und dauernd positiv ist. Die Reihe ist daher - und dies ohne Rücksicht auf den Wert von k - konvergent, falls x<1, divergent falls x>1. Im Fall x=1 haben wir die harmonische Reihe vor uns und die ist bekanntermaßen divergent.
VG mathmetzsch
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