Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mo 16.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+2)} [/mm] konvergiert und berechnen Sie ihren Wert. |
Ich habe versucht mit dem Quotientenkriterium zu arbeiten und erhalte dann:
[mm] |\bruch{\bruch{1}{(n+1)(n+3)}}{\bruch{1}{n(n+2)}}|=|\bruch{n(n+2)}{(n+1)(n+3)}|=|\bruch{n^2+2n}{n^2+4n+3}|
[/mm]
Aber wie zeige ich jetzt, dass der Betrag des Bruchs <1 ist?
Reicht es zu sagen, dass der Nenner größer ist als der Zähler?
Dann der Wert der Reihe:
Die Folgeglieder aufstellen:
n=1: [mm] \bruch{1}{1*(1+2)}=\bruch{1}{3}
[/mm]
n=2: [mm] \bruch{1}{3}+\bruch{1}{2*(2+2)}=\bruch{1}{3}+\bruch{1}{8}=\bruch{11}{24}
[/mm]
n=3: [mm] \bruch{11}{24}+\bruch{1}{3*(3+2)}=\bruch{21}{40}
[/mm]
Wie finde ich jetzt hier einen Zusammenhang so dass ich das ganze als Folge aufschreiben kann deren GW ich berechen kann?
Gruß Zerwas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Mo 16.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zerwas!
Du kommst hier mit dem Majorantenkriterium zum Ziel, indem Du z.B. gegen [mm] $\summe\bruch{1}{n^2}$ [/mm] abschätzt.
Für den Reihenwer solltest Du zunächst eine  Partialbruchzerlegung vornehmen, um dann eine sogenannte "Teleskopsumme" zu erhalten:
[mm] $\bruch{1}{n*(n+2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{n}+\bruch{B}{n+2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Di 17.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Vielen Dank!
Dann schätze ich also ab:
[mm] \bruch{1}{n(n+2)}=\bruch{1}{n^2+2n}<\bruch{1}{n^2} und\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] konvergiert, also auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+2)}
[/mm]
Dann zum Wert der Reihe:
Wenn ich [mm] \bruch{1}{n(n+2)} [/mm] in Partialbrüche zerlege erhalte ich:
[mm] \bruch{1}{n(n+2)}=... [/mm] ???
Hier finde ich keine Möglichkeit den Zähler derart zu erweitern dass es mit der +2 passt ... bei +1 wäre es kein problem aber wie bei +2?
Gruß Zerwas
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank!
>
> Dann schätze ich also ab:
> [mm]\bruch{1}{n(n+2)}=\bruch{1}{n^2+2n}<\bruch{1}{n^2} und\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}[/mm]
> konvergiert, also auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+2)}[/mm]
>
Hallo,
ja, so ist es.
>
>
> Dann zum Wert der Reihe:
> Wenn ich [mm]\bruch{1}{n(n+2)}[/mm] in Partialbrüche zerlege
> erhalte ich:
> [mm]\bruch{1}{n(n+2)}=...[/mm] ???
> Hier finde ich keine Möglichkeit den Zähler derart zu
> erweitern dass es mit der +2 passt ... bei +1 wäre es kein
> problem aber wie bei +2?
???
Loddar hatte Dir doch gesagt, wie man das macht: "$ [mm] \bruch{1}{n\cdot{}(n+2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{n}+\bruch{B}{n+2} [/mm] $ ".
Hier mußt Du rechnend weiterarbeiten:
[mm] \bruch{1}{n\cdot{}(n+2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{n}+\bruch{B}{n+2}=\bruch{A(n+2)+Bn}{n\cdot{}(n+2)}.
[/mm]
Nun Koeffizientenvergleich im Zähler.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Di 17.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Sry aber ich blick da leider echt net durch wie das gehen soll :(
Soll ich 1 mit A(n+2)+Bn vergleichen? dann erhalte ich aber doch nur A in Abhängigkeit von B
Oder was soll ich sonst vergleichen und rechnen?
|
|
|
| |
|
Hallo Zerwas,
du musst die beiden Zähler vergleichen:
[mm] \frac{\red{1}}{n(n+2)} [/mm] und [mm] \frac{\red{A(n+2)+Bn}}{n(n+2)}
[/mm]
also 1=An+2A+Bn=n(A+B)+2A
Es tritt in [mm] \frac{1}{n(n+2)} [/mm] im Zähler kein n auf, also muss gelten
A+B=0 [mm] \wedge [/mm] 2A=1
Damit kannst du nun das A und B berechnen .
Für die Berechnung des GW betrachte mal eine beliebige Partialsumme
(der GW der Reihe ist ja der GW der Partialsummen)
[mm] S_k=\sum\limits_{n=1}^k\frac{1}{n(n+2)} [/mm] und drücke die mit deinen "neuen" Partialbrüchen aus.
Da wist du sehen, dass da viieeel wegfällt.
Dann den Grenzübergang [mm] k\to\infty [/mm] und du hast es...
Ok soweit?
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Di 17.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
okay vielen dank :) jetzt ist das schon viel klarer :)
dann ist also A=0,5 und B=-0,5
Damit ist [mm] \frac{1}{n(n+2)}=\frac{{0,5(n+2)-0,5n}}{n(n+2)}=\frac{0,5}{n}-\frac{0,5}{n+2}
[/mm]
Dann kann ich [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)} [/mm] schreiben als:
[mm] (\frac{0,5}{1}-\frac{0,5}{3})+(\frac{0,5}{2}-\frac{0,5}{4})+(\frac{0,5}{3}-\frac{0,5}{5})+...+(\frac{0,5}{n}-\frac{0,5}{n+2})
[/mm]
Dabei heben sich dann alle Elemente außer dem 1. und dem letzen gegeneinander auf :)
und ich habe [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)} [/mm] = [mm] 2-\frac{0,5}{n+2} [/mm] und [mm] \frac{0,5}{n+2} [/mm] geht gegen 0 für [mm] n\to\infty
[/mm]
Also ist [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}=2 [/mm]
Stimmt das dann so? und kann ich die letzte folgerung [mm] \summe [/mm] = x so schreiben?
Danke nochmal
Gruß Zerwas
|
|
|
| |
|
Hi nochmal,
> okay vielen dank :) jetzt ist das schon viel klarer :)
>
> dann ist also A=0,5 und B=-0,5 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Damit ist
> [mm]\frac{1}{n(n+2)}=\frac{{0,5(n+2)-0,5n}}{n(n+2)}=\frac{0,5}{n}-\frac{0,5}{n+2}[/mm]
[mm] =\red{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)}
[/mm]
>
> Dann kann ich [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}[/mm]
> schreiben als:
>
> [mm](\frac{0,5}{1}-\frac{0,5}{3})+(\frac{0,5}{2}-\frac{0,5}{4})+(\frac{0,5}{3}-\frac{0,5}{5})+...+(\frac{0,5}{n}-\frac{0,5}{n+2})[/mm]
> Dabei heben sich dann alle Elemente außer dem 1. und dem
> letzen gegeneinander auf :) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das stimmt nicht!!
Schreibe eine [mm] \underline{Partial}summe [/mm] auf: Das ergibt die heißersehnte Teleskopsumme:
[mm] S_k=\sum\limits_{n=1}^k\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^k\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+.....+\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right)+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)\right]
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\left[1+\frac{1}{2}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right]
[/mm]
und das strebt für [mm] k\to\infty [/mm] gegen ....?
Das ist der GW der Reihe
> und ich habe [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}[/mm] =
> [mm]2-\frac{0,5}{n+2}[/mm] und [mm]\frac{0,5}{n+2}[/mm] geht gegen 0 für
> [mm]n\to\infty[/mm]
> Also ist [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}=2[/mm]
>
> Stimmt das dann so? und kann ich die letzte folgerung
> [mm]\summe[/mm] = x so schreiben?
>
> Danke nochmal
>
> Gruß Zerwas
Gruß
schachuzius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Mi 18.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Achso okay da war ich dann zu stürmisch ...
[mm] \frac{1}{2}\left[1+\frac{1}{2}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right] [/mm] konvergiert gegen [mm] \frac{1}{2}*\frac{3}{2}=\frac{3}{4}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Servus,
> Achso okay da war ich dann zu stürmisch ...
>
> [mm]\frac{1}{2}\left[1+\frac{1}{2}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right][/mm]
> konvergiert gegen [mm]\frac{1}{2}*\frac{3}{2}=\frac{3}{4}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
ganz genau 
LG
schachuzipus
|
|
|
|
