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Hallo,
ich soll diese Reihe auf Konvergenz untersuchen:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n^2+4}}
[/mm]
Ich habe an das Wurzelkriterium gedacht, aber dann bekomme ich ziemlich viele Exponenten. Beim Quotientenkriterium wird der Ausdruck unter der Wurzel nur noch komplizierter.
Was würdet ihr machen?
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Hallo Englein!
Hier hilft abschätzen; d.h. eines der Vergleichskriterien weiter. In deisem Falle Minorantenkriterium. Schätze ab wie folgt:
[mm] $$\bruch{1}{\wurzel{n^2+\red{4}}} [/mm] \ > \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^2+\red{n^2}}}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Ja, das macht Sinn. Je größer der Nenner, desto kleiner der Wert.
Aber was mache ich nun mit der Minorante? Hier kann ich ja auch nicht die Konvergenz auf Anhieb bestimmen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n^2+{n^2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\bruch{1}{n}
[/mm]
Siehst Du es jetzt ?
FRED
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Demnach wäre die Minorante konvergent gegen [mm] 1/\wurzel{2}, [/mm] oder nicht? 1/n fällt doch gegen unendlich weg.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Mo 19.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Demnach wäre die Minorante konvergent gegen [mm]1/\wurzel{2},[/mm]
> oder nicht? 1/n fällt doch gegen unendlich weg.
Hallo
So ist es. Aber schreibe das mal etwas exakter auf, das ist viel zu "schwammig" formuliert.
Marius
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> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2+n^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \bruch{1}{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Da 1/n für \limes_{n\rightarrow\infty}=0, bleibt nur noch \bruch{1}{\wurzel{2}}
Also ist die Minorante konvergent gegen \bruch{1}{\wurzel{2}
Die Vergleichsreihe muss ja dann dasselbe Konvergenzverhalten haben. Kann ich das nun so einfach Schlussfolgern? Ich dachte immer, dass man beim Minorantenkriterium eine kleinere "divergente" Reihe finden muss, damit das stimmt.
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Hallo Englein!
> Ich dachte immer, dass man beim Minorantenkriterium eine kleinere
> "divergente" Reihe finden muss, damit das stimmt.
Genau das haben wir Dir doch gezeigt.
Was weißt Du denn über die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}$ [/mm] ?
Gruß vom
Roadrunner
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Ah, 1/n ist divergent. Also ist auch meine Reihe divergent, richtig?
Wie ist man eigentlich auf die Umformung der Minorante gekommen, sodass [mm] 1/\wurzel{2} [/mm] weggefallen ist? Kann mir jemand den Zwischenschritt zeigen?
Das heißt allgemein, dass ich bei Reihen immer ein bekanntes Kriterium anwenden muss? So undefinierte Ausdrücke wie bei Folgen, wo zb der Ausdruck unendlich:unendlich nicht definiert ist und wo ich die Folge dann umformen muss (zb durch ausklammern), gibt es bei Reihen nicht?
Ich bin aber gerade etwas verwirrt bei der Berechnung der Konvergenz von Folgen und Reihen. Bei Folgen will ich ja gerade Brüche erzeugen, die gegen unendlich wegfallen, zB geht ja auch 1/n als Folge gegen unendlich gegen 0.
Aber bei Reihen geht 1/n gegen unendlich (divergent) und ist der Exponent vom n>1, dann konvergiert die Reihe. Vielleicht muss ich mir das einfach merken.
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Hallo Englein,
> Ah, 1/n ist divergent.
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") das ist nicht dein Ernst oder? Ich finde [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] konvergiert schön gegen 0 für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Die harmonische Reihe ist doch das Paradebeispiel für eine Reihe, die divergiert, obwohl die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge ist
Aber Moment, das meinst du auch bestimmt, schreibe dann aber auch die Reihe !!!!!! hin, wenn du sie meinst oder von ihr sprichst.
Du meinst, dass die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ [/mm] divergiert und damit auch deine Ausgangsreihe
Achte darauf, was du aufschreibst!
> Also ist auch meine Reihe divergent,
> richtig?
Beinahe, aber [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ [/mm] tut's nicht als Minorante, diese Reihe ist kleiner als deine Ausgangsreihe!
> Wie ist man eigentlich auf die Umformung der Minorante
> gekommen, sodass [mm]1/\wurzel{2}[/mm] weggefallen ist? Kann mir
> jemand den Zwischenschritt zeigen?
Das kommt, weil du nicht die Reihen hinschreibst, wenn du sie meinst!
Hier am Stück:
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+4}} [/mm] \ > \ [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} [/mm] \ = \ [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2n^2}} [/mm] \ = \ [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\frac{1}{\sqrt{n^2}}\right) [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$
[/mm]
Und wenn [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert, so tut es [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ [/mm] doch sicher auch.
Eine divergente Minorante zu deiner Ausgangsreihe wäre also [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$
[/mm]
>
> Das heißt allgemein, dass ich bei Reihen immer ein
> bekanntes Kriterium anwenden muss? So undefinierte
> Ausdrücke wie bei Folgen, wo zb der Ausdruck
> unendlich:unendlich nicht definiert ist und wo ich die
> Folge dann umformen muss (zb durch ausklammern), gibt es
> bei Reihen nicht?
Ja, immer die Kriterien heranziehen, als erstes immer einen Blick auf das Trivialkriterium werfen, für Konvergenz muss die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge sein, dh. wenn die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge ist, kannst du mit Gewissheit sagen, dass die Reihe divergent ist.
Hast du aber eine Nullfolge vorliegen, kann die Reihe konvergieren, muss aber nicht (siehe harmonische Reihe). Dann musst du die bekannten Konvergenzkriterien bemühen
>
> Ich bin aber gerade etwas verwirrt bei der Berechnung der
> Konvergenz von Folgen und Reihen. Bei Folgen will ich ja
> gerade Brüche erzeugen, die gegen unendlich wegfallen, zB
> geht ja auch 1/n als Folge gegen unendlich gegen 0.
> Aber bei Reihen geht 1/n gegen unendlich (divergent) und
> ist der Exponent vom n>1, dann konvergiert die Reihe.
> Vielleicht muss ich mir das einfach merken.
Ja, das ist ziemlich wichtig! Die harmonische Reihe mit s=1 ist sozusagen die Grenzreihe zwischen den konvergenten (s>1) und divergenten (s<1) Reihen des Typs [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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> > Das heißt allgemein, dass ich bei Reihen immer ein
> > bekanntes Kriterium anwenden muss? So undefinierte
> > Ausdrücke wie bei Folgen, wo zb der Ausdruck
> > unendlich:unendlich nicht definiert ist und wo ich die
> > Folge dann umformen muss (zb durch ausklammern), gibt es
> > bei Reihen nicht?
>
> Ja, immer die Kriterien heranziehen, als erstes immer einen
> Blick auf das Trivialkriterium werfen, für Konvergenz muss
> die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge sein, dh. wenn
> die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge ist, kannst du
> mit Gewissheit sagen, dass die Reihe divergent ist.
>
> Hast du aber eine Nullfolge vorliegen, kann die Reihe
> konvergieren, muss aber nicht (siehe harmonische Reihe).
> Dann musst du die bekannten Konvergenzkriterien bemühen
>
Das heißt für das notwendige Kriterium betrachte ich die Reihe erst einmal als Folge?
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Hallo nochmal,
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> > > Das heißt allgemein, dass ich bei Reihen immer ein
> > > bekanntes Kriterium anwenden muss? So undefinierte
> > > Ausdrücke wie bei Folgen, wo zb der Ausdruck
> > > unendlich:unendlich nicht definiert ist und wo ich die
> > > Folge dann umformen muss (zb durch ausklammern), gibt es
> > > bei Reihen nicht?
> >
> > Ja, immer die Kriterien heranziehen, als erstes immer einen
> > Blick auf das Trivialkriterium werfen, für Konvergenz muss
> > die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge sein, dh. wenn
> > die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge ist, kannst du
> > mit Gewissheit sagen, dass die Reihe divergent ist.
> >
> > Hast du aber eine Nullfolge vorliegen, kann die Reihe
> > konvergieren, muss aber nicht (siehe harmonische Reihe).
> > Dann musst du die bekannten Konvergenzkriterien bemühen
> >
>
> Das heißt für das notwendige Kriterium betrachte ich die
> Reihe erst einmal als Folge?
Du betrachtest die Folge der Reihenglieder
Du hast eine Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n$ [/mm] und schaust dir für das Trivialkriterium an, ob die Folge der Reihenglieder, also [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist
LG
schachuzipus
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Noch eine Rückfrage:
Ich suche ja immer eine divergente Minorante oder konvergente Majorante.
Wenn ich die Reihe verkleinere, also eine Minorante finde, heißt es aber langsa nicht, dass diese auch divergiert, oder? Ich habe Angst, dass ich nachher in der Klausur zwar Minoranten finde (auch wenn ich das Kriterium eher umschiffe), aber dass diese nachher konvergent sind.
Hätte ich hier eigentlich nicht gleich die Reihe 1/n für sich nehmen können?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Nein, denn die Ungleichung
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n^2+4}} \ge \bruch{1}{n} [/mm] ist für kein n richtig
FRED
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