Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Di 06.07.2010 | | Autor: | jasper92 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
Sitz gerade an folgender Aufgabe und kommt nicht so ganz weiter.
Und zwar soll man prüfen, ob folgende Reihe konvergiert: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{i^{2n+1}}{(2n+1)*n!} [/mm]
Normalerweise gehe ich an solche Aufgaben immer mit dem Quotientenkriterium ran. Aber bei dieser weiß ich nicht mal was dieses i bedeutet? und wie ich mit dem hoch 2n+1 umgehen soll. Ach ja könnt ihr mich mal aufklären wie ich z.B x hoch 2n+1 schreiben kann. Wenn ich das eingebe erscheint nämlich nur x hoch 2 anstatt 2n+1
jasper
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Hallo jasper92 und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo zusammen,
> Sitz gerade an folgender Aufgabe und kommt nicht so ganz
> weiter.
> Und zwar soll man prüfen, ob folgende Reihe
> [mm]konvergiert:\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{i hoch (2n+1)}{(2n+1)n!}[/mm]
> Normalerweise gehe ich an solche Aufgaben immer mit dem
> Quotientenkriterium ran. Aber bei dieser weiß ich nicht
> mal was dieses i bedeutet? und wie ich mit dem hoch 2n+1
> umgehen soll. Ach ja könnt ihr mich mal aufklären wie ich
> z.B x hoch 2n+1 schreiben kann. Wenn ich das eingebe
> erscheint nämlich nur x hoch 2 anstatt 2n+1
Du musst Exponenten (auch Indizes), die länger als 1 Zeichen sind, in geschweifte Klammern {} setzen, also
\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{i^{2n+1}}{(2n+1)\cdot{}n!} ergibt das schön
leserliche [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{i^{2n+1}}{(2n+1)\cdot{}n!}$
[/mm]
$i$ wird wohl die imaginäre Einheit bezeichnen, wenn nichts anderes dabei steht.
Schreibe dir gem. QK mal [mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] mit [mm] $a_n=\frac{i^{2n+1}}{(2n+1)\cdot{}n!}$ [/mm] auf.
Bedenke, dass [mm] $\left|i^k\right|=|i|^k=1^k=1$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] gilt und dass [mm] $(n+1)!=(n+1)\cdot{}n!$
[/mm]
Untersuche schließlich, was für [mm] $n\to\infty$ [/mm] passiert ...
> jasper
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Di 06.07.2010 | | Autor: | jasper92 |
Vielen Dank für deine Antwort :)
Ok | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] | = | [mm] \bruch{i^{2n+1}i(2n+1)n!}{(2n+2)n!(n+1)i^{2n+1}} [/mm] |= | [mm] \bruch{i(2n+1)}{(2n+2)(n+1)} [/mm] | Das konvergiert nach den Grenzwertregeln doch gegen Null für [mm] n\to\infty, [/mm] oder?
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank für deine Antwort :)
> Ok | [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] | = |
> [mm]\bruch{i^{2n+1}i(2n+1)n!}{(2n+2)n!(n+1)i^{2n+1}}[/mm] |= |
> [mm]\bruch{i(2n+1)}{(2n+2)(n+1)}[/mm] | Das konvergiert nach den
> Grenzwertregeln doch gegen Null für [mm]n\to\infty,[/mm] oder?
Das stimmt vom Ergebnis, du hast nur einen kleinen Fehler im Nenner:
Es ist $(2(n+1)+1)=(2n+3)$ und nicht $(2n+2)$
Was sagt dir dein Ergebnis nun im Hinblick auf die Frage nach Konvergenz/Divergenz?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Di 06.07.2010 | | Autor: | jasper92 |
Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup| [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}|< [/mm] 1 folgt sofort, dass die Reihe konvergiert. Eine Frage hab ich noch: "Konvergiert die Reihe auch absolut?" Schon oder? Da Betrag von an wieder an ist
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo jasper!
> Eine Frage hab ich noch: "Konvergiert die Reihe auch absolut?" Schon oder?
Ja, das sieht ganz gut dafür aus. Nachweis?
> Da Betrag von an wieder an ist
Das wiederum ist verkehrt! Bedenke, dass Du hier auch die imaginäre Einheit $i_$ im [mm] $a_n$ [/mm] hast.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mi 07.07.2010 | | Autor: | jasper92 |
Ok und wie genau kann man die absolute konvergenz nachweisen. Ich nehm doch den Betrag von an. Inwiefern unterscheidet sich denn der Betrag von an von an insbesondere bzgl. des i?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo jasper!
Gegenfrage: wie berechnet man denn den Betrag einer komplexen Zahl, speziell wie lautet denn der Betrag von $i_$ ?
Gruß
Loddar
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Hallo,
> Ok und wie genau kann man die absolute konvergenz
> nachweisen. Ich nehm doch den Betrag von an. Inwiefern
> unterscheidet sich denn der Betrag von an von an
> insbesondere bzgl. des i?
Hast du meine erste Antwort nicht gelesen?
Da steht doch ein dicker Wink mit dem Zaunpfahl ...
Mensch, Mensch ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mi 07.07.2010 | | Autor: | jasper92 |
Oh klaro Hast es mir ja schon ausführlich hingeschrieben :D Na gut dann ist der Zähler also 1. Dann führt der Nachweis der absoluten Konvergenz also wieder über das Quotientenkriterium ?
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Hallo nochmal,
> Oh klaro Hast es mir ja schon ausführlich hingeschrieben
> :D Na gut dann ist der Zähler also 1. Dann führt der
> Nachweis der absoluten Konvergenz also wieder über das
> Quotientenkriterium ?
Ja, du hast es schon getan.
Welche Aussage liefert denn das QK?
Schau's dir mal genau an ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Do 08.07.2010 | | Autor: | jasper92 |
Somit konvergiert die Reihe auch absolut gegen Null?
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Hallo jasper92,
> Somit konvergiert die Reihe auch absolut gegen Null?
Naja, zumindest konvergiert sie absolut!
Dass der Reihenwert aber 0 ist, halte ich für unwahrscheinlich...
Gruß
schachuzipus
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