Reihenkonvergenz in FT < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f in D(o,1) holomorph und beschränkt.
Beweise, daß g(z):= [mm] \summe_{i=1}^{\infty}({f(z^{n})}-{f(0)}) [/mm] konvergiert. Warum ist g holomorph in D(0,1)?
Tip: Betrachte ({f(z)}-{f(0)}) /z |
Die Aufgabe hatte ich gestern in ner FT-Klausur und sie läßt mir keine Ruhe. g ist wohl holomorph, wenn die Summe gleichmäßig konvergiert, nehme ich an. Aber wie zeige ich diese glm. Konvergenz?
Klar ist, daß [mm] |z^{n}| [/mm] < 1 für |z| < 1beschränkt ist, also [mm] f(z^{n}) [/mm] holomorph in D(0,1) ist aber dann hörts auch schon auf.
Was verwende ich? Laurent-Reihen-Entwicklung, Hebbarkeitssatz, Majorantenkriterium? Und mit dem Tip konnte ich leider gar nichts anfangen.
P.S.: D(0,1) ist das Innere des Einheitskreises
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 07.03.2008 | | Autor: | ImperatoM |
Was ich noch vergessen habe:
Ich konnte schon zeigen, daß a(n,z) = [mm] {f(z^{n})}-{f(0)} [/mm] eine Nullfolge ist, denn
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{f(z^{n})}-{f(0)} [/mm] = f(0)-f(0) = 0 in D(0,1).
Aber das reicht ja bekanntlich nicht aus, um zu zeigen daß die Reihe konvergiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Sa 08.03.2008 | | Autor: | felixf |
Moin.
> Sei f in D(o,1) holomorph und beschränkt.
>
> Beweise, daß g(z):=
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}({f(z^{n})}-{f(0)})[/mm] konvergiert. Warum
> ist g holomorph in D(0,1)?
>
> Tip: Betrachte ({f(z)}-{f(0)}) /z
Sei $f = [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k z^k$. [/mm] Dann ist [mm] $\frac{f(z) - f(0)}{z} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty a_{k+1} z^k$. [/mm] Insbesondere konvergiert diese Potenzreihe gleichmaessig auf $D(0, 1)$.
Es gibt also fuer alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ mit [mm] $\left| \frac{f(z) - f(0)}{z} \right| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] fuer alle $z$ mit $|z| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Wenn $|z| < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist, so ist auch [mm] $|z^n| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] fuer alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Damit ist [mm] $|f(z^n) [/mm] - f(0)| [mm] \le \delta |z^n|$ [/mm] fuer alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] und alle $z$ mit $|z| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Jetzt kannst du $g(z)$ mit Hilfe des Majorantenkriteriums nach oben abschaetzen, und zwar ganz gleichmaessig fuer alle $z$ mit $|z| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mo 10.03.2008 | | Autor: | ImperatoM |
Dankeschön! Das sieht ziemlich gut aus. Ich hab Donnerstag noch ne Kalusur und werde es mir danach nochmal in aller Ruhe anschauen! Danke jedenfalls!
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