Reihenkonvergenz untersuchen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{n+1}-\wurzel{n},
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{n}-1)^{n}
[/mm]
d) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}}{(2+\bruch{1}{n})^{n}}
[/mm]
e) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}} [/mm] |
Hallo^^
Kann mir bitte jemand sagen,ob meine Ergebnisse so stimmen?
a) Die Folge sieht so aus: [mm] x_{0}=1, x_{1}=\wurzel{2}-1, x_{2}=\wurzel{3}-\wurzel{2}...
[/mm]
Nach Cauchy-Kriterium ist die Reihe genau dann konvergent, falls [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert derart, dass [mm] |x_{n}+...+x_{m}|< \varepsilon \forall [/mm] n,m, [mm] \ge [/mm] N.
Also habe ich gerechnet [mm] |x_{n}+...+x_{m}|=|\wurzel{m+1}|, [/mm] da sich die restlichen Summanden wegen der Teleskopsumme wegheben. Das heißt doch aber, dass für alle [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] |\wurzel{m+1}| [/mm] kein solches N existiert und die Reihe somit nicht konvergent ist oder?
b) Sei [mm] x_{n}=\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n}. x_{n} [/mm] konvergiert gegen 0 d.h. es ist möglich, dass die Reihe konvergiert.
Nach dem Majoranten-Kriterium gilt, dass [mm] |x_{n}|
c) Hier hab ich das Wurzelkriterium angewandt: [mm] \wurzel[n]{((\wurzel[n]{n}-1)^{n})}=\wurzel[n]{n}-1. [/mm] Es ist lim [mm] sup(\wurzel[n]{n}-1)=0 [/mm] <1. Daraus folgt, dass die Reihe absolut konvergent und somit auch konvergent ist.
d) Es ist [mm] x_{n}=n^{2}*\bruch{1}{(2+\bruch{1}{n})^{n}}. [/mm] Und [mm] z=\bruch{1}{(2+\bruch{1}{n})^{n}} [/mm] ist kleiner als 1, also absolut konvergent nach der Geometrischen Reihe.
Wegen der Konvergenz des Cauchy-Produkts ist die Reihe somit konvergent.
e) Ich habe Werte eingesetzt und herausgefunden,dass die Reihe gegen 57,986 konvergiert, aber den Beweis dafür krieg ich nicht hin.
Also [mm] x_{n}=\bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}} [/mm] ist nicht monoton, kann somit auch nicht gegen 0 konvergieren. Somit müsste die Reihe nicht konvergent sein, aber Werte einsetzen ergibt, dass die Reihe konvergent ist. Wie geht das?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
> Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
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> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{n+1}-\wurzel{n},[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n}[/mm]
>
> c) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{n}-1)^{n}[/mm]
>
> d) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}}{(2+\bruch{1}{n})^{n}}[/mm]
>
> e) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}[/mm]
>
> Hallo^^
>
> Kann mir bitte jemand sagen,ob meine Ergebnisse so
> stimmen?
>
> a) Die Folge sieht so aus: [mm]x_{0}=1, x_{1}=\wurzel{2}-1, x_{2}=\wurzel{3}-\wurzel{2}...[/mm]
>
> Nach Cauchy-Kriterium ist die Reihe genau dann konvergent,
> falls [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 ein N [mm]\in \IN[/mm] existiert
> derart, dass [mm]|x_{n}+...+x_{m}|< \varepsilon \forall[/mm] n,m,
> [mm]\ge[/mm] N.
>
> Also habe ich gerechnet [mm]|x_{n}+...+x_{m}|=|\wurzel{m+1}|,[/mm]
> da sich die restlichen Summanden wegen der Teleskopsumme
> wegheben. Das heißt doch aber, dass für alle [mm]\varepsilon[/mm]
> < [mm]|\wurzel{m+1}|[/mm] kein solches N existiert und die Reihe
> somit nicht konvergent ist oder?
Stimmt!
Einfacher: erweitere mit [mm]\sqrt{n+1}\red{+}\sqrt{n}[/mm] und Vergleichskrit.
>
> b) Sei [mm]x_{n}=\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n}. x_{n}[/mm]
> konvergiert gegen 0 d.h. es ist möglich, dass die Reihe
> konvergiert.
Jo
> Nach dem Majoranten-Kriterium gilt, dass
> [mm]|x_{n}|
> absolut konvergent und somit auch konvergent ist.
Wieso?
Erweitere wieder mit [mm]\sqrt{n+1}+\sqrt{n}[/mm], dann kannst du gegen eine Reihe des Typs [mm]\sum\frac{1}{n^s}[/mm] mit [mm]s>1[/mm] abschätzen als konv. Majorante
>
> c) Hier hab ich das Wurzelkriterium angewandt:
> [mm]\wurzel[n]{((\wurzel[n]{n}-1)^{n})}=\wurzel[n]{n}-1.[/mm] Es ist
> lim [mm]sup(\wurzel[n]{n}-1)=0[/mm] <1. Daraus folgt, dass die Reihe
> absolut konvergent und somit auch konvergent ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> d) Es ist [mm]x_{n}=n^{2}*\bruch{1}{(2+\bruch{1}{n})^{n}}.[/mm] Und
> [mm]z=\bruch{1}{(2+\bruch{1}{n})^{n}}[/mm] ist kleiner als 1, also
> absolut konvergent nach der Geometrischen Reihe.
> Wegen der Konvergenz des Cauchy-Produkts ist die Reihe
> somit konvergent.
Puh, das ist mir etwas zu ungenau, erkläre bitte etwas ausführlicher!
Ich würde im Nenner [mm]2^n[/mm] ausklammern und dann abschätzen ...
>
> e) Ich habe Werte eingesetzt und herausgefunden,dass die
> Reihe gegen 57,986 konvergiert, aber den Beweis dafür
> krieg ich nicht hin.
> Also [mm]x_{n}=\bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}[/mm] ist nicht monoton,
> kann somit auch nicht gegen 0 konvergieren. Somit müsste
> die Reihe nicht konvergent sein, aber Werte einsetzen
> ergibt, dass die Reihe konvergent ist. Wie geht das?
Wurzelkrit. Klammere im Nenner dann [mm]3^n[/mm] aus ...
>
> Vielen Dank
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 14.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo schachuzipus,
> > Also habe ich gerechnet [mm]|x_{n}+...+x_{m}|=|\wurzel{m+1}|,[/mm]
> > da sich die restlichen Summanden wegen der Teleskopsumme
> > wegheben. Das heißt doch aber, dass für alle [mm]\varepsilon[/mm]
> > < [mm]|\wurzel{m+1}|[/mm] kein solches N existiert und die Reihe
> > somit nicht konvergent ist oder?
>
> Stimmt!
>
> Einfacher: erweitere mit [mm]\sqrt{n+1}\red{+}\sqrt{n}[/mm] und
> Vergleichskrit.
Was ist denn das Vergleichskrit.? Ich galube, ich kenne das gar nicht.
>
> >
> > b) Sei [mm]x_{n}=\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n}. x_{n}[/mm]
> > konvergiert gegen 0 d.h. es ist möglich, dass die Reihe
> > konvergiert.
>
> Jo
>
> > Nach dem Majoranten-Kriterium gilt, dass
> > [mm]|x_{n}|
> > absolut konvergent und somit auch konvergent ist.
>
> Wieso?
>
> Erweitere wieder mit [mm]\sqrt{n+1}+\sqrt{n}[/mm], dann kannst du
> gegen eine Reihe des Typs [mm]\sum\frac{1}{n^s}[/mm] mit [mm]s>1[/mm]
> abschätzen als konv. Majorante
Also habe ich folgendes:
[mm] \bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n}*\bruch{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}=\bruch{1}{n*(n+1)^{\bruch{1}{2}}}+\bruch{1}{n^{\bruch{3}{2}}}.
[/mm]
Dann ist [mm] \bruch{1}{n*(n+1)^{\bruch{1}{2}}} [/mm] < 1 und [mm] \bruch{1}{n^{\bruch{3}{2}}} [/mm] < 1.
Dann kann ich die Reihe in zwei Reihen mir den angegebenen Termen aufteilen und beide konvergieren nach dem Majoranten Kriterium. Da die Summe zweier konvergenter Reihen aber konvergent ist, folgt, dass die Reihe konvergiert.
> > d) Es ist [mm]x_{n}=n^{2}*\bruch{1}{(2+\bruch{1}{n})^{n}}.[/mm] Und
> > [mm]z=\bruch{1}{(2+\bruch{1}{n})^{n}}[/mm] ist kleiner als 1, also
> > absolut konvergent nach der Geometrischen Reihe.
> > Wegen der Konvergenz des Cauchy-Produkts ist die Reihe
> > somit konvergent.
>
> Puh, das ist mir etwas zu ungenau, erkläre bitte etwas
> ausführlicher!
Ich meine das so: Zur geometrischen Reihe haben wir und aufgeschrieben:
"Für z [mm] \in \IC [/mm] gilt: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} z^{n} [/mm] ist absolut konvergent für |z|<1 und sonst nicht konvergent".
Jetzt ist [mm] |z_{n}|:=|\bruch{1}{(2+\bruch{1}{n})^{n}}| [/mm] < 1, also absolut konvergent.
Aber ich galube das gehet doch nicht, denn das Cauchy-Produkt ist das Produkt von zwei Reihen, aber ich habe hier das Produkt von zwei Folgen [mm] \bruch{1}{(2+\bruch{1}{n})^{n}} [/mm] und [mm] n^{2} [/mm] genommen,also vergiss es.
> Ich würde im Nenner [mm]2^n[/mm] ausklammern und dann abschätzen
Das habe ich versucht und habe folgendes:
[mm] \bruch{n^{2}}{(2+\bruch{1}{n})^{n}}=\bruch{n^{2}}{2^{n}*(\bruch{2n+1}{2n})^{n}} [/mm] und jetzt habe ich noch ein bisschen umgeformt, bin aber wieder auf das gekommen was schon am Anfang da steht.
> > e) Ich habe Werte eingesetzt und herausgefunden,dass die
>
> Wurzelkrit. Klammere im Nenner dann [mm]3^n[/mm] aus ...
Wenn ich das Wurzelkrit. anwende, dann habe ich [mm] \wurzel[n]{|x_{n}|}=\wurzel[n]{\bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}}=\bruch{\wurzel[n]{n^{5}}}{\wurzel[n]{2^{n}+3^{n}}}=\bruch{n^{\bruch{5}{n}}}{(2^{n}+3^{n})^{\bruch{1}{n}}}=\bruch{n^{\bruch{5}{n}}}{3*((\bruch{2}{3})^{n}+1)^{\bruch{1}{n}}}.
[/mm]
Dieser Ausdruck ist noch viel komplizierter als der am Anfang.Wenn ich n gegen [mm] \infty [/mm] laufen lasse, geht der Nenner gegen 3, aber der Zähler gegen [mm] \infty.Das [/mm] bringt mich nicht weiter.
Vielen Dank
lg
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Hi nochmal,
bin auf dem Sprung und erst morgen wieder da, daher nur eine ganz kurze Mitteilung:
Es werden sich aber sicher andere um die Frage reißen 
> Hallo schachuzipus,
>
> > > Also habe ich gerechnet [mm]|x_{n}+...+x_{m}|=|\wurzel{m+1}|,[/mm]
> > > da sich die restlichen Summanden wegen der Teleskopsumme
> > > wegheben. Das heißt doch aber, dass für alle [mm]\varepsilon[/mm]
> > > < [mm]|\wurzel{m+1}|[/mm] kein solches N existiert und die Reihe
> > > somit nicht konvergent ist oder?
> >
> > Stimmt!
> >
> > Einfacher: erweitere mit [mm]\sqrt{n+1}\red{+}\sqrt{n}[/mm] und
> > Vergleichskrit.
> Was ist denn das Vergleichskrit.? Ich galube, ich kenne
> das gar nicht.
Majoranten-/Minorantenkrit. --> finde eine Vergleichsreihe, hier eine divergente Minorante!
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> > > Also habe ich gerechnet [mm]|x_{n}+...+x_{m}|=|\wurzel{m+1}|,[/mm]
> > > da sich die restlichen Summanden wegen der Teleskopsumme
> > > wegheben. Das heißt doch aber, dass für alle [mm]\varepsilon[/mm]
> > > < [mm]|\wurzel{m+1}|[/mm] kein solches N existiert und die Reihe
> > > somit nicht konvergent ist oder?
> >
> > Stimmt!
> >
> > Einfacher: erweitere mit [mm]\sqrt{n+1}\red{+}\sqrt{n}[/mm] und
> > Vergleichskrit.
> Was ist denn das Vergleichskrit.? Ich galube, ich kenne
> das gar nicht.
>
> >
> > >
> > > b) Sei [mm]x_{n}=\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n}. x_{n}[/mm]
> > > konvergiert gegen 0 d.h. es ist möglich, dass die Reihe
> > > konvergiert.
> >
> > Jo
> >
> > > Nach dem Majoranten-Kriterium gilt, dass
> > > [mm]|x_{n}|
> > > absolut konvergent und somit auch konvergent ist.
> >
> > Wieso?
> >
> > Erweitere wieder mit [mm]\sqrt{n+1}+\sqrt{n}[/mm], dann kannst du
> > gegen eine Reihe des Typs [mm]\sum\frac{1}{n^s}[/mm] mit [mm]s>1[/mm]
> > abschätzen als konv. Majorante
>
> Also habe ich folgendes:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n}*\bruch{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}=\bruch{1}{n*(n+1)^{\bruch{1}{2}}}+\bruch{1}{n^{\bruch{3}{2}}}.[/mm]
Einfacher doch abschätzen!
[mm]\frac{1}{n\cdot{}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \ \le \ \frac{1}{n\cdot{}(\sqrt{n}+\sqrt{n})} \ = \ \frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}[/mm]
Also hast du mit [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}[/mm] eine konvergente Majorante, also konvergiert die Ausgangsreihe nach dem Vergl.krit.
>
> Dann ist [mm]\bruch{1}{n*(n+1)^{\bruch{1}{2}}}[/mm] < 1 und
> [mm]\bruch{1}{n^{\bruch{3}{2}}}[/mm] < 1.
> Dann kann ich die Reihe in zwei Reihen mir den angegebenen
> Termen aufteilen und beide konvergieren nach dem Majoranten
> Kriterium. Da die Summe zweier konvergenter Reihen aber
> konvergent ist, folgt, dass die Reihe konvergiert.
>
>
>
> > > d) Es ist [mm]x_{n}=n^{2}*\bruch{1}{(2+\bruch{1}{n})^{n}}.[/mm] Und
> > > [mm]z=\bruch{1}{(2+\bruch{1}{n})^{n}}[/mm] ist kleiner als 1, also
> > > absolut konvergent nach der Geometrischen Reihe.
Nee, da steht doch das [mm]n[/mm] noch im Klammerterm (im q).
Du weißt doch auch bei Folgen, dass [mm](q^n)_{n\in\IN}[/mm] etwa für [mm]q>1[/mm] divergiert, kennst aber auch [mm]\left(1+1/n\right)^n[/mm], das gegen [mm]e[/mm] konvergiert, obwohl [mm]1+1/n>1[/mm] ist.
> > > Wegen der Konvergenz des Cauchy-Produkts ist die Reihe
> > > somit konvergent.
> >
> > Puh, das ist mir etwas zu ungenau, erkläre bitte etwas
> > ausführlicher!
>
> Ich meine das so: Zur geometrischen Reihe haben wir und
> aufgeschrieben:
> "Für z [mm]\in \IC[/mm] gilt: [mm]\summe_{n=1}^{\infty} z^{n}[/mm] ist
> absolut konvergent für |z|<1 und sonst nicht konvergent".
> Jetzt ist [mm]|z_{n}|:=|\bruch{1}{(2+\bruch{1}{n})^{n}}|[/mm] < 1,
> also absolut konvergent.
> Aber ich galube das gehet doch nicht, denn das
> Cauchy-Produkt ist das Produkt von zwei Reihen, aber ich
> habe hier das Produkt von zwei Folgen
> [mm]\bruch{1}{(2+\bruch{1}{n})^{n}}[/mm] und [mm]n^{2}[/mm] genommen,also
> vergiss es.
>
> > Ich würde im Nenner [mm]2^n[/mm] ausklammern und dann abschätzen
Das war ja mal ein Kack-Tipp von mir ...
Einfacher geht's direktemeng mit dem Wurzelkrit.
[mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{n^2}{\left(2+1/n\right)^n}\right|}=\frac{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^2}}{\limsup\limits_{n\to\infty}\left(2+1/n\right)}=1/2<1[/mm]
Also absolute Konvergenz ...
>
> Das habe ich versucht und habe folgendes:
>
> [mm]\bruch{n^{2}}{(2+\bruch{1}{n})^{n}}=\bruch{n^{2}}{2^{n}*(\bruch{2n+1}{2n})^{n}}[/mm]
> und jetzt habe ich noch ein bisschen umgeformt, bin aber
> wieder auf das gekommen was schon am Anfang da steht.
>
>
> > > e) Ich habe Werte eingesetzt und herausgefunden,dass die
> >
> > Wurzelkrit. Klammere im Nenner dann [mm]3^n[/mm] aus ...
Auch glorreich von mir ...
Mit dem WK berechnest du ja den [mm]\lim\red{sup}[/mm]
>
> Wenn ich das Wurzelkrit. anwende, dann habe ich
> [mm]\wurzel[n]{|x_{n}|}=\wurzel[n]{\bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}}=\bruch{\wurzel[n]{n^{5}}}{\wurzel[n]{2^{n}+3^{n}}}=\bruch{n^{\bruch{5}{n}}}{(2^{n}+3^{n})^{\bruch{1}{n}}}=\bruch{n^{\bruch{5}{n}}}{3*((\bruch{2}{3})^{n}+1)^{\bruch{1}{n}}}.[/mm]
Ok, der Zähler strebt gegen 1 ([mm]\sqrt[n]{n^k}[/mm] strebt für festes [mm]k\in\IN[/mm] gegen 1)
Der Nenner gegen 3
Insgesamt also gegen 1/3
Wenn du alternativ im Nenner [mm]2^n[/mm] ausklammerst, strebt selbiger gegen [mm]\infty[/mm], der Bruch also gegen 0, das ist der [mm]\limsup[/mm]
Und [mm]0<1[/mm], also Kgz ...
>
> Dieser Ausdruck ist noch viel komplizierter als der am
> Anfang.Wenn ich n gegen [mm]\infty[/mm] laufen lasse, geht der
> Nenner gegen 3, aber der Zähler gegen [mm]\infty.[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das bringt
> mich nicht weiter.
>
> Vielen Dank
> lg
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Lenzo |
> > Wenn ich das Wurzelkrit. anwende, dann habe ich
> >
> [mm]\wurzel[n]{|x_{n}|}=\wurzel[n]{\bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}}=\bruch{\wurzel[n]{n^{5}}}{\wurzel[n]{2^{n}+3^{n}}}=\bruch{n^{\bruch{5}{n}}}{(2^{n}+3^{n})^{\bruch{1}{n}}}=\bruch{n^{\bruch{5}{n}}}{3*((\bruch{2}{3})^{n}+1)^{\bruch{1}{n}}}.[/mm]
>
> Ok, der Zähler strebt gegen 1 ([mm]\sqrt[n]{n^k}[/mm] strebt für
> festes [mm]k\in\IN[/mm] gegen 1)
>
> Der Nenner gegen 3
>
> Insgesamt also gegen 1/3
>
> Wenn du alternativ im Nenner [mm]2^n[/mm] ausklammerst, strebt
> selbiger gegen [mm]\infty[/mm], der Bruch also gegen 0, das ist der
> [mm]\limsup[/mm]
>
> Und [mm]0<1[/mm], also Kgz ...
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Hallo, eine kurze Frage aus Verunsicherung:
Bin am Herumprobieren und
habe erst eine Majorante bestimmt, und dann analog gerechnet.
[mm]\wurzel[n]{|x_{n}|}=\wurzel[n]{\bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}}<=\wurzel[n]{\bruch{n^{5}}{2^{n}}}[/mm]
??? Danke...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Mi 15.06.2011 | | Autor: | fred97 |
>
>
> > > Wenn ich das Wurzelkrit. anwende, dann habe ich
> > >
> >
> [mm]\wurzel[n]{|x_{n}|}=\wurzel[n]{\bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}}=\bruch{\wurzel[n]{n^{5}}}{\wurzel[n]{2^{n}+3^{n}}}=\bruch{n^{\bruch{5}{n}}}{(2^{n}+3^{n})^{\bruch{1}{n}}}=\bruch{n^{\bruch{5}{n}}}{3*((\bruch{2}{3})^{n}+1)^{\bruch{1}{n}}}.[/mm]
> >
> > Ok, der Zähler strebt gegen 1 ([mm]\sqrt[n]{n^k}[/mm] strebt für
> > festes [mm]k\in\IN[/mm] gegen 1)
> >
> > Der Nenner gegen 3
> >
> > Insgesamt also gegen 1/3
> >
> > Wenn du alternativ im Nenner [mm]2^n[/mm] ausklammerst, strebt
> > selbiger gegen [mm]\infty[/mm], der Bruch also gegen 0, das ist der
> > [mm]\limsup[/mm]
> >
> > Und [mm]0<1[/mm], also Kgz ...
>
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
> Hallo, eine kurze Frage aus Verunsicherung:
>
> Bin am Herumprobieren und
> habe erst eine Majorante bestimmt, und dann analog
> gerechnet.
>
> [mm]\wurzel[n]{|x_{n}|}=\wurzel[n]{\bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}}<=\wurzel[n]{\bruch{n^{5}}{2^{n}}}[/mm]
Prima. Und jetzt folgt: $lim sup [mm] \wurzel[n]{|x_{n}|} \le [/mm] 1/2$. Und das bedeutet ?
FRED
>
> ??? Danke...
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Lenzo |
> > Bin am Herumprobieren und
> > habe erst eine Majorante bestimmt, und dann analog
> > gerechnet.
> >
> >
> [mm]\wurzel[n]{|x_{n}|}=\wurzel[n]{\bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}}<=\wurzel[n]{\bruch{n^{5}}{2^{n}}}[/mm]
>
> Prima. Und jetzt folgt: [mm]lim sup \wurzel[n]{|x_{n}|} \le 1/2[/mm].
> Und das bedeutet ?
>
> FRED
Danke!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Do 16.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo schachuzipus,
> > Wenn ich das Wurzelkrit. anwende, dann habe ich
> >
> [mm]\wurzel[n]{|x_{n}|}=\wurzel[n]{\bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}}=\bruch{\wurzel[n]{n^{5}}}{\wurzel[n]{2^{n}+3^{n}}}=\bruch{n^{\bruch{5}{n}}}{(2^{n}+3^{n})^{\bruch{1}{n}}}=\bruch{n^{\bruch{5}{n}}}{3*((\bruch{2}{3})^{n}+1)^{\bruch{1}{n}}}.[/mm]
>
> Ok, der Zähler strebt gegen 1 ([mm]\sqrt[n]{n^k}[/mm] strebt für
> festes [mm]k\in\IN[/mm] gegen 1).
Das haben wir aber nur für k=1 bewiesen,
>
> Der Nenner gegen 3
>
> Insgesamt also gegen 1/3
>
> Wenn du alternativ im Nenner [mm]2^n[/mm] ausklammerst, strebt
> selbiger gegen [mm]\infty[/mm], der Bruch also gegen 0, das ist der
> [mm]\limsup[/mm]
Ok, ich klammere im Nenner [mm] 2^{n} [/mm] aus und bekomme:
[mm] \bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}=\bruch{n^{5}}{2^{n}*(1+(\bruch{3}{2})^{n})}. [/mm] Und der Nenner strebt jetzt deswegen gegen [mm] \infty, [/mm] weil [mm] 2^{n} [/mm] gegen unendlich geht, und weil [mm] (1,5)^{n} [/mm] auch gegen unendlich geht.Aber [mm] n^{5} [/mm] geht doch auch gegen unendlich. Wieso strebt dann der Bruch gegen 0?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Do 16.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo schachuzipus,
>
> > > Wenn ich das Wurzelkrit. anwende, dann habe ich
> > >
> >
> [mm]\wurzel[n]{|x_{n}|}=\wurzel[n]{\bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}}=\bruch{\wurzel[n]{n^{5}}}{\wurzel[n]{2^{n}+3^{n}}}=\bruch{n^{\bruch{5}{n}}}{(2^{n}+3^{n})^{\bruch{1}{n}}}=\bruch{n^{\bruch{5}{n}}}{3*((\bruch{2}{3})^{n}+1)^{\bruch{1}{n}}}.[/mm]
> >
> > Ok, der Zähler strebt gegen 1 ([mm]\sqrt[n]{n^k}[/mm] strebt für
> > festes [mm]k\in\IN[/mm] gegen 1).
>
> Das haben wir aber nur für k=1 bewiesen,
Ooooch, Ihr armen....
[mm] \wurzel[n]{n^k}= (\wurzel[n]{n})^k
[/mm]
> >
> > Der Nenner gegen 3
> >
> > Insgesamt also gegen 1/3
> >
> > Wenn du alternativ im Nenner [mm]2^n[/mm] ausklammerst, strebt
> > selbiger gegen [mm]\infty[/mm], der Bruch also gegen 0, das ist der
> > [mm]\limsup[/mm]
>
> Ok, ich klammere im Nenner [mm]2^{n}[/mm] aus und bekomme:
>
> [mm]\bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}=\bruch{n^{5}}{2^{n}*(1+(\bruch{3}{2})^{n})}.[/mm]
> Und der Nenner strebt jetzt deswegen gegen [mm]\infty,[/mm] weil
> [mm]2^{n}[/mm] gegen unendlich geht, und weil [mm](1,5)^{n}[/mm] auch gegen
> unendlich geht.Aber [mm]n^{5}[/mm] geht doch auch gegen unendlich.
> Wieso strebt dann der Bruch gegen 0?
Was da oben getrieben wird ist mir völlig schleierhaft !
FRED
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 16.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> > Das haben wir aber nur für k=1 bewiesen,
>
>
> Ooooch, Ihr armen....
Ja leider.
>
> [mm]\wurzel[n]{n^k}= (\wurzel[n]{n})^k[/mm]
Ach ja richtig, Danke =).
>
>
> > >
> > > Der Nenner gegen 3
> > >
> > > Insgesamt also gegen 1/3
> > >
> > > Wenn du alternativ im Nenner [mm]2^n[/mm] ausklammerst, strebt
> > > selbiger gegen [mm]\infty[/mm], der Bruch also gegen 0, das ist der
> > > [mm]\limsup[/mm]
> >
> > Ok, ich klammere im Nenner [mm]2^{n}[/mm] aus und bekomme:
> >
> >
> [mm]\bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}=\bruch{n^{5}}{2^{n}*(1+(\bruch{3}{2})^{n})}.[/mm]
> > Und der Nenner strebt jetzt deswegen gegen [mm]\infty,[/mm] weil
> > [mm]2^{n}[/mm] gegen unendlich geht, und weil [mm](1,5)^{n}[/mm] auch gegen
> > unendlich geht.Aber [mm]n^{5}[/mm] geht doch auch gegen unendlich.
> > Wieso strebt dann der Bruch gegen 0?
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> Was da oben getrieben wird ist mir völlig schleierhaft !
Was genau ist dir rätselhaft? Meine Rechnung ist doch nachvollziehbar oder nicht?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Do 16.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > > Das haben wir aber nur für k=1 bewiesen,
> >
> >
> > Ooooch, Ihr armen....
>
> Ja leider.
> >
> > [mm]\wurzel[n]{n^k}= (\wurzel[n]{n})^k[/mm]
>
> Ach ja richtig, Danke =).
> >
> >
> > > >
> > > > Der Nenner gegen 3
> > > >
> > > > Insgesamt also gegen 1/3
> > > >
> > > > Wenn du alternativ im Nenner [mm]2^n[/mm] ausklammerst, strebt
> > > > selbiger gegen [mm]\infty[/mm], der Bruch also gegen 0, das ist der
> > > > [mm]\limsup[/mm]
> > >
> > > Ok, ich klammere im Nenner [mm]2^{n}[/mm] aus und bekomme:
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}=\bruch{n^{5}}{2^{n}*(1+(\bruch{3}{2})^{n})}.[/mm]
> > > Und der Nenner strebt jetzt deswegen gegen [mm]\infty,[/mm] weil
> > > [mm]2^{n}[/mm] gegen unendlich geht, und weil [mm](1,5)^{n}[/mm] auch gegen
> > > unendlich geht.Aber [mm]n^{5}[/mm] geht doch auch gegen unendlich.
> > > Wieso strebt dann der Bruch gegen 0?
> >
> > Was da oben getrieben wird ist mir völlig schleierhaft !
>
> Was genau ist dir rätselhaft? Meine Rechnung ist doch
> nachvollziehbar oder nicht?
Das schon, aber wozu soll diese Rechnung gut sein ?
Wir hatten: [mm] \bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}
[/mm]
[mm] 2^n+3^n [/mm] geht schneller gegen [mm] \infty [/mm] als [mm] n^5. [/mm] Damit geht [mm] \bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}} [/mm] gegen 0.
Und jetzt ?
FRED
>
> lg
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Hallo nochmal,
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> Ok, ich klammere im Nenner [mm]2^{n}[/mm] aus und bekomme:
>
> [mm]\bruch{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}=\bruch{n^{5}}{2^{n}*(1+(\bruch{3}{2})^{n})}.[/mm]
> Und der Nenner strebt jetzt deswegen gegen [mm]\infty,[/mm] weil
> [mm]2^{n}[/mm] gegen unendlich geht, und weil [mm](1,5)^{n}[/mm] auch gegen
> unendlich geht.Aber [mm]n^{5}[/mm] geht doch auch gegen unendlich.
> Wieso strebt dann der Bruch gegen 0?
Du musst doch [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n^5}{2^n+3^n}}[/mm] bestimmen.
Der Zähler [mm]\sqrt[n]{n^5}[/mm] strebt gegen [mm]1[/mm], das hatten wir ja nun.
Was ist im Nenner los?
Klammerst du [mm]3^n[/mm] aus, so hast du [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^n\cdot{}\left(1+(2/3)^n)}=3\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+(2/3)^n}=3\cdot{}1=3[/mm]
Insgesamt also [mm]1/3[/mm]
Klammerst du [mm]2^n[/mm] aus, entsprechend [mm]2\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+(3/2)^n}=2\cdot{}3/2=3[/mm]
Insgesamt also auch [mm]1/3[/mm]
Wir haben also [mm]1/3<1[/mm] als gesuchten Limes superior
Oben habe ich wohl irgendwas von [mm]\infty[/mm] geschrieben, hatte aber dabei wohl vergessen, dass wir ja die n-te Wurzel uns anschauen ...
>
> Vielen Dank
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Du musst doch
> [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n^5}{2^n+3^n}}[/mm]
> bestimmen.
>
> Der Zähler [mm]\sqrt[n]{n^5}[/mm] strebt gegen [mm]1[/mm], das hatten wir ja
> nun.
>
> Was ist im Nenner los?
>
> Klammerst du [mm]3^n[/mm] aus, so hast du
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^n\cdot{}\left(1+(2/3)^n)}=3\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+(2/3)^n}=3\cdot{}1=3[/mm]
>
> Insgesamt also [mm]1/3[/mm]
>
> Klammerst du [mm]2^n[/mm] aus, entsprechend
> [mm]2\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+(3/2)^n}=2\cdot{}3/2=3[/mm]
>
Achso, so meintest du das, ich hatte es irgendwie anders verstanden, aber jetzt ist es klar.
Vielen Dank dir.
lg
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> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{n+1}-\wurzel{n},[/mm]
> a) Die Folge sieht so aus: [mm]x_{0}=1, x_{1}=\wurzel{2}-1, x_{2}=\wurzel{3}-\wurzel{2}...[/mm]
>
> Nach Cauchy-Kriterium ist die Reihe genau dann konvergent,
> falls [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 ein N [mm]\in \IN[/mm] existiert
> derart, dass [mm]|x_{n}+...+x_{m}|< \varepsilon \forall[/mm] n,m,
> [mm]\ge[/mm] N.
>
> Also habe ich gerechnet [mm]|x_{n}+...+x_{m}|=|\wurzel{m+1}|,[/mm]
> da sich die restlichen Summanden wegen der Teleskopsumme
> wegheben. Das heißt doch aber, dass für alle [mm]\varepsilon[/mm]
> < [mm]|\wurzel{m+1}|[/mm] kein solches N existiert und die Reihe
> somit nicht konvergent ist oder?
Für diese "Teleskopsumme" braucht man doch keine
speziellen Kriterien, denn man kann ja ganz leicht
sehen, dass
[mm]S_N\ =\ \summe_{n=1}^{N} \left(\wurzel{n+1}-\wurzel{n}\right)\ =\ \wurzel{N+1}-1[/mm]
und [mm] $\limes_{N\to\infty}S_N\ [/mm] =\ [mm] \infty$
[/mm]
LG Al-Chw.
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