Reihenkonvergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{1}{2n+1} [/mm] gegen eine Zahl kleiner als [mm] 1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5} [/mm] konvergiert.
b) Konstruieren Sie eine Umordnung der Reihe aus a), die gegen eine Zahl größer als [mm] 1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5} [/mm] konvergiert. |
Ich bin so vorgegangen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{1}{2n+1} [/mm]
[mm] \gdw 1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5} [/mm] + [mm] \summe_{n=3}^{\infty} (-1)^n \bruch{1}{2n+1}
[/mm]
Nun wollte ich zeigen, dass:
[mm] \summe_{n=3}^{\infty}(-1)^n \bruch{1}{2n+1}<0 [/mm] ist.
Das ist offensichtlich wahr denn:
[mm] s_n:= -\bruch{1}{2n+5}+\bruch{1}{2n+7}-\bruch{1}{2n+9}+\bruch{1}{2n+11}+...\pm\bruch{1}{2N+1}
[/mm]
[mm] \gdw -(\bruch{1}{2n+5}-\bruch{1}{2n+7})-(\bruch{1}{2n+9}-\bruch{1}{2n+11})-...
[/mm]
Der Term in der Klammer ist ja immer positiv, also ziehe ich immer etwas ab.
Doch weiter komm ich leider nicht.
Kann mir jemand weiterhelfen ?
Mfg. Der Joker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
oben hast du vergessen, alternierende Vorzeichen in deinen Summanden einzubauen. Es ist ja ganz offensichtlich so gemeint, aber magst du es noch nachholen, um Missverständnisse zu vermeiden?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Joker08 |
Oh sorry hab ich vergessen oO
Da die Frage bearbeitet wird, kann ich da im momment leider nichts dran ändern.
Mfg. Der Joker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mo 17.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> a) Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}[/mm]
> gegen eine Zahl kleiner als [mm]1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}[/mm]
> konvergiert.
>
> b) Konstruieren Sie eine Umordnung der Reihe aus a), die
> gegen eine Zahl größer als [mm]1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}[/mm]
> konvergiert.
> Ich bin so vorgegangen:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw 1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}[/mm] + [mm]\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}[/mm]
das ist falsch! In der Summe kommt doch kein -1/3 vor?
>
> Nun wollte ich zeigen, dass:
>
> [mm]\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}<0[/mm] ist.
das ist sicher falsch, du hast nur positive Summanden, wie soll das <0 werden
aber mir scheint in der Aufgabe ist vielleicht ein [mm] (-1)^n [/mm] verloren gegangen?
dann korrigier bitte deine Aufgabe.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:47 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Joker08 |
> Hallo
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> > a) Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}[/mm]
> > gegen eine Zahl kleiner als [mm]1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}[/mm]
> > konvergiert.
> >
> > b) Konstruieren Sie eine Umordnung der Reihe aus a), die
> > gegen eine Zahl größer als [mm]1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}[/mm]
> > konvergiert.
> > Ich bin so vorgegangen:
> >
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}[/mm]
> >
> > [mm]\gdw 1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}[/mm] + [mm]\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> das ist falsch! In der Summe kommt doch kein -1/3 vor?
> >
> > Nun wollte ich zeigen, dass:
> >
> > [mm]\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}<0[/mm] ist.
> das ist sicher falsch, du hast nur positive Summanden, wie
> soll das <0 werden
> aber mir scheint in der Aufgabe ist vielleicht ein [mm](-1)^n[/mm]
> verloren gegangen?
> dann korrigier bitte deine Aufgabe.
> Gruss leduart
Jup die Aufgabe ist bereits korrigiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> a) Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{1}{2n+1}[/mm]
> gegen eine Zahl kleiner als [mm]1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}[/mm]
> konvergiert.
>
> b) Konstruieren Sie eine Umordnung der Reihe aus a), die
> gegen eine Zahl größer als [mm]1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}[/mm]
> konvergiert.
>
> Ich bin so vorgegangen:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw 1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}[/mm] + [mm]\summe_{n=3}^{\infty} (-1)^n \bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> Nun wollte ich zeigen, dass:
>
> [mm]\summe_{n=3}^{\infty}(-1)^n \bruch{1}{2n+1}<0[/mm] ist.
>
> Das ist offensichtlich wahr denn:
>
> [mm]s_n:= -\bruch{1}{2n+5}+\bruch{1}{2n+7}-\bruch{1}{2n+9}+\bruch{1}{2n+11}+...\pm\bruch{1}{2N+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw -(\bruch{1}{2n+5}-\bruch{1}{2n+7})-(\bruch{1}{2n+9}-\bruch{1}{2n+11})-...[/mm]
>
> Der Term in der Klammer ist ja immer positiv, also ziehe
> ich immer etwas ab.
>
> Doch weiter komm ich leider nicht.
> Kann mir jemand weiterhelfen ?
Hallo Joker,
Du bist doch schon fertig! Du ziehst etwas Positives ab! Bzw. Du addierst etwas Negatives. Begründung: Die Partialsummenfolge [mm] $(s_{2n-1})$ [/mm] ist streng monoton fallend. Alle Folgenglieder sind kleiner als [mm] $s_3$ [/mm] und damit ist der Grenzwert auch kleiner als [mm] $s_3\,.$ [/mm] Da die Reihe konvergiert, konvergiert die Partialsummenfolge [mm] $(s_n)$ [/mm] gegen denselben Grenzwert wie ihre Teilfolge [mm] $(s_{2n-1})$. [/mm] Überzeugt Dich das? Wenn nein, melde Dich bitte.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Joker08 |
> > a) Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{1}{2n+1}[/mm]
> > gegen eine Zahl kleiner als [mm]1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}[/mm]
> > konvergiert.
> >
> > b) Konstruieren Sie eine Umordnung der Reihe aus a), die
> > gegen eine Zahl größer als [mm]1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}[/mm]
> > konvergiert.
> >
> > Ich bin so vorgegangen:
> >
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{1}{2n+1}[/mm]
> >
> > [mm]\gdw 1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}[/mm] + [mm]\summe_{n=3}^{\infty} (-1)^n \bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> >
> > Nun wollte ich zeigen, dass:
> >
> > [mm]\summe_{n=3}^{\infty}(-1)^n \bruch{1}{2n+1}<0[/mm] ist.
> >
> > Das ist offensichtlich wahr denn:
> >
> > [mm]s_n:= -\bruch{1}{2n+5}+\bruch{1}{2n+7}-\bruch{1}{2n+9}+\bruch{1}{2n+11}+...\pm\bruch{1}{2N+1}[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw -(\bruch{1}{2n+5}-\bruch{1}{2n+7})-(\bruch{1}{2n+9}-\bruch{1}{2n+11})-...[/mm]
>
> >
> > Der Term in der Klammer ist ja immer positiv, also ziehe
> > ich immer etwas ab.
> >
> > Doch weiter komm ich leider nicht.
> > Kann mir jemand weiterhelfen ?
>
> Hallo Joker,
>
> Du bist doch schon fertig! Du ziehst etwas Positives ab!
> Bzw. Du addierst etwas Negatives. Begründung: Die
> Partialsummenfolge [mm](s_{2n-1})[/mm] ist streng monoton fallend.
> Alle Folgenglieder sind kleiner als [mm]s_3[/mm] und damit ist der
> Grenzwert auch kleiner als [mm]s_3\,.[/mm] Da die Reihe konvergiert,
> konvergiert die Partialsummenfolge [mm](s_n)[/mm] gegen denselben
> Grenzwert wie ihre Teilfolge [mm](s_{2n-1})[/mm]. Überzeugt Dich
> das? Wenn nein, melde Dich bitte.
>
> Gruß,
> Wolfgang
>
Mh ja schon aber ich bin mir unsicher wie genau ich das nun aufschreiben soll :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> > > a) Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{1}{2n+1}[/mm]
> > > gegen eine Zahl kleiner als [mm]1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}[/mm]
> > > konvergiert.
> > >
> > > b) Konstruieren Sie eine Umordnung der Reihe aus a), die
> > > gegen eine Zahl größer als [mm]1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}[/mm]
> > > konvergiert.
> > >
> > > Ich bin so vorgegangen:
> > >
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{1}{2n+1}[/mm]
> > >
> > > [mm]\gdw 1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}[/mm] + [mm]\summe_{n=3}^{\infty} (-1)^n \bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
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> > >
> > > Nun wollte ich zeigen, dass:
> > >
> > > [mm]\summe_{n=3}^{\infty}(-1)^n \bruch{1}{2n+1}<0[/mm] ist.
> > >
> > > Das ist offensichtlich wahr denn:
> > >
> > > [mm]s_n:= -\bruch{1}{2n+5}+\bruch{1}{2n+7}-\bruch{1}{2n+9}+\bruch{1}{2n+11}+...\pm\bruch{1}{2N+1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\gdw -(\bruch{1}{2n+5}-\bruch{1}{2n+7})-(\bruch{1}{2n+9}-\bruch{1}{2n+11})-...[/mm]
>
> >
> > >
> > > Der Term in der Klammer ist ja immer positiv, also ziehe
> > > ich immer etwas ab.
> > >
> > > Doch weiter komm ich leider nicht.
> > > Kann mir jemand weiterhelfen ?
> >
> > Hallo Joker,
> >
> > Du bist doch schon fertig! Du ziehst etwas Positives ab!
> > Bzw. Du addierst etwas Negatives. Begründung: Die
> > Partialsummenfolge [mm](s_{2n-1})[/mm] ist streng monoton fallend.
> > Alle Folgenglieder sind kleiner als [mm]s_3[/mm] und damit ist der
> > Grenzwert auch kleiner als [mm]s_3\,.[/mm] Da die Reihe konvergiert,
> > konvergiert die Partialsummenfolge [mm](s_n)[/mm] gegen denselben
> > Grenzwert wie ihre Teilfolge [mm](s_{2n-1})[/mm]. Überzeugt Dich
> > das? Wenn nein, melde Dich bitte.
> >
> > Gruß,
> > Wolfgang
> >
>
> Mh ja schon aber ich bin mir unsicher wie genau ich das nun
> aufschreiben soll :/
Na so, daß es zunächst mal Dich überzeugt! Was aber der Korrektor sehen will, weiß ich natürlich nicht. Wahrscheinlich solltest Du noch mit dem Leibnizkriterium für alternierende Reihen begründen, daß die Reihe überhaupt konvergiert. Schau doch mal in Euer Script, was dort vor, nach oder im Beweis zum Leibnizkriterium steht.
Gruß,
Wolfgang
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