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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:08 Fr 15.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
(1) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{k^n}) [/mm] in Abhängigkeit von positivem [mm] n\in\IQ
[/mm]
(2) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{k\wurzel{k}})
[/mm]
(3) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k\wurzel{k}
[/mm]
(4) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\wurzel{k} x^k [/mm] in Abhängigkeit von [mm] x\in\IR [/mm] |
(1)
1.Fall: n=1
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{k}) [/mm] divergiert (ist als "standartreihe" bekannt)
2.Fall: n<1
Hier kann ich abschätzen:
[mm] (\bruch{1}{k^n})>(\bruch{1}{k}) [/mm] und damit ist die reihe konvergent.
3.Fall: n<1
Wie aber zeige ich das? Ich weiß zwar, dass die Reihe für n>1 konvergiert und zeigen könnte man es mit dem Integralkriterium. Dieses hatten wir jedoch in der Vorlesung nicht. Wie also sonst?
(2)
Hier habe ich das Problem dass ich weder mit dem Wurzelkrizerium [mm] (\wurzel[k]{\bruch{1}{k\wurzel{k}}}=\bruch{1}{\wurzel[k]{k\wurzel{k}}}=\bruch{1}{\wurzel[k]{k}\wurzel[2k]{k}} [/mm] müsste kleiner sein als 1 aber wie soll ich das zeigen?) oder mit dem Quotientenkriterium [mm] (|\bruch{\bruch{1}{(k+1)\wurzel{k+1}}}{\bruch{1}{k\wurzel{k}}}|=|\bruch{k\wurzel{k}}{(k+1)\wurzel{k+1}}| [/mm] müsste auch kleiner 1 sein aber wie zeigen?) weiter komme. Aber wie dann? Abschätzen? Aber wogegen?
(3)
Ist eine alternierende Reihe und konvergiert nach Leibnitz wenn [mm] \wurzel{k} [/mm] monoton fällt und gegen 0 konvergiert. [mm] \wurzel{k} [/mm] geht jedoch gegen [mm] \infty [/mm] für [mm] k\rightarrow\infty. \Rightarrow [/mm] die Reihe divergiert.
(4)
Wenn x=0 ist die Reihe [mm] O\forall [/mm] k und damit konvergent.
Aber wie weiter? Muss ich hier wirklich alle möglchen fälle abklappern wie x=1 x>1 0<x<1 oder kann ich das vllt eleganter machen?
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf andern Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Fr 15.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Grüß Dich Zerwas,
(1): [mm] \summe_{k\in\IN} \bruch{1}{k^n}
[/mm]
bekommst Du mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz hin, mit
dem Du Deine Reihe auf die geometrische Reihe zurückführst:
Eine positive Reihe
[mm] \summe_{k\in\IN} a_n
[/mm]
ist konvergent genau dann, wenn die verdichtete Reihe
[mm] \summe 2^n*a_{2^n}
[/mm]
konvergent ist. Einen recht netten Beweis dazu findest Du
zum Beispiel im Heuser Band I.
(2): Die Reihe (2) ist ein Spezialfall der Reihe (1).
(3): Hast Du selber hinbekommen.
(4): Ich schätze für den Fall x>=1 hast Du Divergenz,
da bereits [mm] \summe \wurzel{k} [/mm] divergiert.
Den Rest bekommst Du mit dem Quotientenkriterium hin:
[mm] \bruch{\wurzel{k+1}*x^{k+1}}{\wurzel{k}*x^k}
[/mm]
wird <1 für x<1.
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
Gut vielen dank erstmal :)
(1)
1.Fall: [mm] n\le [/mm] 1:
[mm] \bruch{1}{k^n}\ge\bruch{1}{k} [/mm] und divergiert damit.
2.Fall: n>1:
Nach Cauchyschem Verdichtungskriterium konvergiert [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^n} [/mm] wenn [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(2^k*\bruch{1}{k^n}) [/mm] konvergiert.
Jetzt hänge ich aber wieder.
Mit dem Quotientenkriterium komme ich auf:
[mm] \bruch{\bruch{2^{k+1}}{2^n*(k+1)^n}}{\bruch{2^k}{2^n*k^n}}=\bruch{2^{k+1}*2^n*k^n}{2^n*(k+1)^n*2^k}=\bruch{2*k^n}{(k+1)^n} [/mm] und jetzt?
(2)
Da zu fehlt mir ja dann die (1)
(3)
s.o.
(4)
1.Fall [mm] |x|\ge [/mm] 1:
Da bereits [mm] \wurzel{k} [/mm] divergiert, divergiert ein Vielfaches erst recht.
2.Fall |x|<1:
Quotientenkriterium:
[mm] \bruch{\wurzel{k+1}\cdot{}x^{k+1}}{\wurzel{k}\cdot{}x^k}=\bruch{\wurzel{k+1}\cdot{}x}{\wurzel{k}} [/mm] wie zeige ich jetzt aber hieb und stichfest, dass der Bruch <1 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Sa 16.06.2007 | | Autor: | kochmn |
>
> 2.Fall: n>1:
> Nach Cauchyschem Verdichtungskriterium konvergiert
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^n}[/mm] wenn
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(2^k*\bruch{1}{k^n})[/mm] konvergiert.
Hmmm... nein so hatte ich dir den Verdichtungssatz nicht hingeschrieben!
Schau nocheinmal genau hin (hier ein direktes Zitat aus dem Heuser, Band I)
Cauchyscher Verdichtungssatz: Sind die Glieder einer Reihe
[mm] \summe {a_n} [/mm] nichtnegativ und nimmt überdies [mm] (a_n) [/mm] ab,
so ist [mm] \summe {a_n} [/mm] konvergent genau dann, wenn dies für die
"verdichtete Reihe" [mm] \summe 2^n a_{2^n} [/mm] zutrifft. Im
Konvergenzfall strebt somit [mm] 2^n a_{2^n} [/mm] gegen 0.
Für Dich heißt das: Zeige, dass
[mm] \summe 2^k [/mm] * [mm] a_{2^k}
[/mm]
= [mm] \summe 2^k [/mm] * [mm] \bruch{1}{(2^k)^n}
[/mm]
konvergiert für [mm] n=1+\varepsilon [/mm] mit [mm] \varepsilon>0
[/mm]
und divergiert für [mm] n=1-\varepsilon [/mm] mit [mm] \varepsilon<0,
[/mm]
also im ersten Fall:
[mm] \summe 2^k [/mm] * [mm] \bruch{1}{(2^k)^{1+\varepsilon}}
[/mm]
[mm] =\summe \bruch{1}{(2^k)^{\varepsilon}}
[/mm]
[mm] =\summe (2^{-\varepsilon})^k
[/mm]
und diese geometrische Reihe konvergiert, da
[mm] -1<(2^{-\varepsilon})<1
[/mm]
Für den zweiten Fall ergibt sich eben
[mm] 1<(2^{\varepsilon})
[/mm]
mit Divergenz und der Fall [mm] \varepsilon=0 [/mm] entspricht der harmonischen
Reihe, die Du bereits kennst.
Zu Deiner letzten Frage: Meine Art das Quotientenkriterium
anzuwenden (ich kenne zwei Methoden) geht so:
Untersuche, ob
[mm] lim_{k\to\infty} |\bruch{x*\wurzel{k+1}}{\wurzel{k}}|
[/mm]
größer, kleiner oder gleich 1 ist. Nun: x ist zwar beliebig aber
fest und kann herausgezogen werden.
= |x|* [mm] lim_{k\to\infty} \bruch{\wurzel{k+1}}{\wurzel{k}}
[/mm]
Und der Grenzwert des Wurzelbruchs ist 1 (zu zeigen z.B. mit
der Regel von de l'Hospital)
So. Ich hoffe nun stimmt alles, und dass Du etwas damit anfangen
kannst! Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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