Reihensumme Partialbruchzerl. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Summe der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(7+k)(8+k)} [/mm] |
Ich brauch wieder mal Hilfe.
Bei dieser Aufgabe muss man doch die Partialbruchzerlegung anwenden denke ich.
Ich hab also folgendes gemacht:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(7+k)(8+k)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{A}{7+k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{B}{8+k}
[/mm]
1 = [mm] A\cdot{}(8+k) [/mm] + [mm] B\cdot{}(7+k)
[/mm]
1 = 8A + 7B + k(A+B)
[mm] k^{1}: [/mm]
k(A+B) = 0
A = -B
[mm] k^{0}:
[/mm]
8A + 7B = 1
-8B + 7B = 1
B = -1
----------
B = -1
A = +1
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(7+k)(8+k)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{7+k} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{8+k}
[/mm]
Ist das richtig soweit?
Wie gehts jetzt weiter? Wie kann ich daraus die Summe berechnen?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Berechnen Sie die Summe der folgenden Reihe:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(7+k)(8+k)}[/mm]
> Ich brauch
> wieder mal Hilfe.
>
> Bei dieser Aufgabe muss man doch die Partialbruchzerlegung
> anwenden denke ich.
> Ich hab also folgendes gemacht:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(7+k)(8+k)}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{A}{7+k}[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{B}{8+k}[/mm]
Na, das ist heikel, das so zu schreiben ... bei unendlichen Summen ...
Besser nur mit dem Bruch:
[mm]\frac{1}{(7+k)(8+k)}=\frac{A}{7+k}+\frac{B}{8+k}[/mm]
>
> 1 = [mm]A\cdot{}(8+k)[/mm] + [mm]B\cdot{}(7+k)[/mm]
> 1 = 8A + 7B + k(A+B)
>
> [mm]k^{1}:[/mm]
> k(A+B) = 0
> A = -B
>
> [mm]k^{0}:[/mm]
> 8A + 7B = 1
> -8B + 7B = 1
> B = -1
>
> ----------
> B = -1
> A = +1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
gut!
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(7+k)(8+k)}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{7+k}[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{8+k}[/mm]
Ah, wieder heikel!
Schreibe besser [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(7+k)(8+k)}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{7+k}-\frac{1}{8+k}\right)[/mm]
>
> Ist das richtig soweit?
> Wie gehts jetzt weiter? Wie kann ich daraus die Summe
> berechnen?
Nun, nutze aus, dass [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{n}a_k}_{=:S_n}[/mm] ist, also der Reihenwert der Grenzwert der Partialsummenfolge ist.
Schreibe dir eine solche Partialsumme [mm]S_n[/mm] mal hin (mit ...), das gibt eine nette Teleskopsumme, in der sich ziemlich alles weghebt.
Dann [mm]n\to\infty[/mm]
Alternativ ziehe die endliche Summe [mm]S_n[/mm] auseinander, mache eine Ondexverschiebung, dann siehst du auch schnell, dass sich fast alles weghebt.
Am Ende wieder [mm]n\to\infty[/mm]
>
> Lg
>
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank!
Zum Schluss hebt sich dann alles bis auf [mm] \bruch{1}{8} [/mm] weg.
Lg
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