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Forum "Folgen und Reihen" - Reihenwert
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Reihenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 So 15.05.2011
Autor: al3pou

Aufgabe
Berechnen sie den Wert der Reihe

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+3)} [/mm]

Also ich hatte den Hinweis gegeben, dass ich das ganze mit Partialbruchzerlegung umschreiben soll und dann erkenne ich, dass es sich um eine Teleskopsumme handelt. Also

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3n}-\bruch{1}{3(n+3)} [/mm]

Meine Frage ist, wie mache ich jetzt weiter um den Wert zu bestimmen?

LG
        
Bezug
Reihenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 So 15.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo al3pou,


> Berechnen sie den Wert der Reihe
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+3)}[/mm]
>  Also ich hatte den
> Hinweis gegeben, dass ich das ganze mit
> Partialbruchzerlegung umschreiben soll und dann erkenne
> ich, dass es sich um eine Teleskopsumme handelt. [ok] Also
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3n}-\bruch{1}{3(n+3)}[/mm] [ok]

Noch leicht vereinfacht: [mm]=\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right)[/mm]

>  
> Meine Frage ist, wie mache ich jetzt weiter um den Wert zu
> bestimmen?

Beachte [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{n=1}^{k}a_n}_{:=S_k}[/mm]

Schreibe dir mal eine solche Partialsumme [mm]S_k[/mm] hin, die ersten paar Terme ... und die letzten paar Terme. Dann siehst du, dass sich vieles weghebt und nicht viel bleibt.

Oder mache eine Indexverschiebung:

[mm]\sum\limits_{n=1}^k\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right)=\sum\limits_{n=1}^k\frac{1}{n} \ - \ \sum\limits_{n=1}^k\frac{1}{n+3}[/mm]

[mm]=\sum\limits_{n=1}^k\frac{1}{n} \ - \ \sum\limits_{n=4}^{k+3}\frac{1}{n} \ = \ \ldots[/mm]

Verrechne das und dann [mm]k\to\infty[/mm]

Vergiss den Vorfaktor [mm]1/3[/mm] am Ende nicht ;-)



>  
> LG

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Reihenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 So 15.05.2011
Autor: al3pou

also ist der Reihenwert dann

[mm] \bruch{11}{18} [/mm]
Bezug
                        
Bezug
Reihenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:21 So 15.05.2011
Autor: MathePower

Hallo al3pou,

> also ist der Reihenwert dann
>
> [mm]\bruch{11}{18}[/mm]  


Ja. [ok]


Gruss
MathePower
Bezug
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