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| Aufgabe | | Berechne die Reihe [mm] $\sum_{k\not=j}\dfrac{1}{j^2-k^2}$. [/mm] |
Hallo,
Per Wolfram Alpha habe ich herausgefunden, dass der Wert [mm] $\dfrac{1}{(2j)^2}$ [/mm] ist, außer für $j=0$. Dass die Reihe konvergiert ist leicht einzusehen, durch einen Vergleich mit [mm] $\sum\dfrac{1}/k^2$ [/mm] beziehungsweise [mm] $\sum\dfrac{1}{k(k+1)}$, [/mm] von deren Konvergenz man sich leicht überzeugt.
Mit der Berechnung des Wertes komme ich aber schlecht voran. Schon für $j=1$ bekomme ich es nicht hin, zu sehen, dass [mm] $\sum_{k=2}^\infty \dfrac{1}{1-k^2}=-\dfrac{3}{4}$. [/mm] Der allgemeine Fall läuft nicht besser. Könnt ihr helfen?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Mi 01.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechne die Reihe [mm]\sum_{k\not=j}\dfrac{1}{j^2-k^2}[/mm].
> Hallo,
>
> Per Wolfram Alpha habe ich herausgefunden, dass der Wert
> [mm]\dfrac{1}{(2j)^2}[/mm] ist, außer für [mm]j=0[/mm]. Dass die Reihe
> konvergiert ist leicht einzusehen, durch einen Vergleich
> mit [mm]\sum\dfrac{1}/k^2[/mm] beziehungsweise
> [mm]\sum\dfrac{1}{k(k+1)}[/mm], von deren Konvergenz man sich leicht
> überzeugt.
>
> Mit der Berechnung des Wertes komme ich aber schlecht
> voran. Schon für [mm]j=1[/mm] bekomme ich es nicht hin, zu sehen,
> dass [mm]\sum_{k=2}^\infty \dfrac{1}{1-k^2}=-\dfrac{3}{4}[/mm]. Der
> allgemeine Fall läuft nicht besser. Könnt ihr helfen?
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
Zauberwort: Partialbruchzerlegung !
Machen wir zuerst den Fall j=1:
Es ist [mm] \dfrac{1}{1-k^2}= \dfrac{1}{2}*( \dfrac{1}{1-k}+ \dfrac{1}{1+k})
[/mm]
Nun erinnern wir uns an:
$ [mm] \sum_{k=2}^\infty \dfrac{1}{1-k^2}:=\limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{1-k^2}$
[/mm]
und setzen daher:
[mm] S_n:=\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{1-k^2} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
[mm] S_n [/mm] ist eine Teleskopsumme ! Rechne mal aus: [mm] S_3,S_4,.., [/mm] dann solltest Du sehen, dass der Hase dahin läuft:
[mm] $S_n=\dfrac{1}{2}*(- \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{n+1})$.
[/mm]
Streng beweisen kannst Du das mit Induktion nach n.
Jetzt sehen wir: [mm] $S_n \to -\dfrac{3}{4}$ [/mm] für $n [mm] \to \infty.$
[/mm]
Nun zum allg. Fall:
zeige:
[mm] \dfrac{1}{j^2-k^2}=\dfrac{1}{2j}*(\dfrac{1}{j-k}+\dfrac{1}{j+k}).
[/mm]
Setze $ [mm] S_n:=\sum_{k=1, k \ne j}^n\dfrac{1}{j^2-k^2} [/mm] $ für n>j
und versuche, ähnlich wie im ersten Fall, eine geschlossen Formel für [mm] S_n [/mm] zu finden.
FRED
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Vielen Dank, Fred, ich habe es hinbekommen.
Gibt es eigentlich eine Möglichkeit, solche Partialbruchzerlegungen "mechanisch" auszurechnen? Oder muss man sie "sehen"?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Mi 01.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank, Fred, ich habe es hinbekommen.
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> Gibt es eigentlich eine Möglichkeit, solche
> Partialbruchzerlegungen "mechanisch" auszurechnen? Oder
> muss man sie "sehen"?
Nein, sehen muss man das nicht. In den meisten Fällen ist das auch nicht möglich.
Beispiel:
Ansatz (hierbei ist j fest und k variabel): Klar: [mm] j^2-k^2=(j-k)(j+k)
[/mm]
$ [mm] \dfrac{1}{j^2-k^2}=\dfrac{A}{j-k}+\dfrac{B}{j+k} [/mm] $
Es folgt: $1=A(j+k)+B(j-k)=j(A+B)+k(A-B)$ für alle k.
Koeffizientevergleich liefert:
1=j(A+B) und 0=A-B.
Also: [mm] A=B=\bruch{1}{2j}.
[/mm]
Schau da mal rein:
https://www2.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/analysis1_MAVT_MATL/index/edit/Partialbruchzerlegung.pdf
FRED
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> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
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