Reihenwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Di 10.12.2013 | | Autor: | Boastii |
| Aufgabe | Berechnen Sie bitte folgenden Reihenwert:
[mm] \summe_{j=1}^{\infty} \frac{2j+1}{4(1^3+2^3+...+j^3)} [/mm] |
Hallo ihr Lieben :),
ich schreibe mal meinen Ansatz:
Ich schreibe vorerst die gegebene Reihe wie folgt um:
[mm] \summe_{j=1}^{\infty} \frac{2j+1}{4*\summe_{k=1}^{j} k^3 } [/mm]
Schreibe die im Nenner stehende Summe explizit:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \frac{2j+1}{4*\frac{j^2(j+1)^2}{4} } [/mm] Fasse weiter zusammen: [mm] \summe_{j=1}^{\infty} \frac{2j+1}{j^5+2j^3+j^2} [/mm]
Nun komme ich nicht weiter, ich würde nun gerne eine Partialbruchzerlegung durchführen. Damit ich evt. am Ende, einzeln Summen Teile wegkürzen kann und ich somit einen Reihenwert bekomme.
Hättet ihr einen Ansatz wie ich das partial zerlegen kann?
MfG Boastii
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Di 10.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Boastii!
Du warst auf einem guten Weg. Jedoch war das Ausmultiplizieren im Nenner zuviel bzw. überflüssig.
Es gilt für die Partialbruchzerlegung:
[mm] $\bruch{2j+1}{j^2*(j+1)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{j}+\bruch{B}{j^2}+\bruch{C}{j+1}+\bruch{D}{(j+1)^2}$
[/mm]
Bestimme nun $A_$ ... $D_$ .
Gruß
Loddar
PS: der Summationsindex muss natürlich auch stets $j_$ lauten und nicht $i_$ ! ![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Di 10.12.2013 | | Autor: | Boastii |
Hey, danke für deine Antwort.
Ja natürlich, habe das Summenzeichen aus dem Vorrat kopiert und vergessen die Index zu ändern.
zum Thema:
Ich versuchs :
[mm] \frac{2j+1}{j^2(j+1)^2 }= \frac{A}{j+1} + \frac{B}{(j+1)^2} + \frac{C}{j} +\frac{D}{j^2} | * (j^2(j+1)^2) [/mm]
[mm] 2j+1=A(j^3+j^2)+B(j^2)+C(j^3+2j^2+j)+D(j^2+2j+1) [/mm]
Weiter Ausmultipliziert:
[mm] 2j+1=j^3(A+C)+j^2(A+B+2C+D)+j(C+2D)+D [/mm]
Nun führe ich einen Koeffizientenvergleich durch und sehe dass
[mm] j^3=0 ; j^2 =0 ; j^1=2 ; j^0 = 1 [/mm] und setze das gleich :
[mm] A+C=0 [/mm]
[mm] A+B+2C+D=0 [/mm]
[mm] C+2D=2 [/mm]
[mm] D=1 [/mm]
So [mm] D=1 [/mm] sehe ich sofort, danach sieht man sofort das [mm] C=0 [/mm] sein muss durch die 3. Gleichung. Es folgt die 1. Gleichung: [mm] A+0=0 \Rightarrow A=0 [/mm]. Die 2. Gleichung: [mm] 0+B+0+1=0 \Rightarrow B=-1 [/mm]
Also:
[mm] A=0 [/mm]
[mm] B=-1 [/mm]
[mm] C=0 [/mm]
[mm] D=1 [/mm]
Somit:
[mm] \frac{2j+1}{j^2(j+1)^2} = -\frac{1}{(j+1)^2}+\frac{1}{j^2} [/mm]
Wieder als Reihe:
[mm] \summe_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j^2} - \frac{1}{(j+1)^2} [/mm]
[mm] \summe_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j^2} - \summe_{j=1}^{\infty} \frac{1}{(j+1)^2} [/mm]
Jetzt mache ich eine Indexverschiebung:
[mm]\summe_{j=0}^{\infty} \frac{1}{(j+1)^2} -\summe_{j=1}^{\infty} \frac{1}{(j+1)^2} [/mm]
Addiere bei der zweiten Summe, das 0'te Glied dazu (-1+1=0)
[mm] \summe_{j=0}^{\infty} \frac{1}{(j+1)^2} - \summe_{j=0}^{\infty} \frac{1}{(j+1)^2} +1 [/mm]
Man sieht sofort, dass sich die beiden Summenzeichen aufheben und man bekommt als Ergebnis des Reihenwertes die 1.
Ist das so richtig?
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Di 10.12.2013 | | Autor: | Boastii |
Ja, ist mir erst danach aufgefallen. Sorry :)
Danke für deine Hilfe. wieder etwas dazu gelernt.
Liebe Grüße :)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
