Reihenwert durch Integration < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Do 14.02.2013 | | Autor: | acid |
| Aufgabe | Ermitteln Sie den Konvergenzradius R der Potenzreihe [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \frac{(-3)^k}{k}(x+1)^k
[/mm]
und bestimmen Sie für jedes x [mm] \in \IR [/mm] mit x + 1 [mm] \in [/mm] (−R, R) den Reihenwert. |
Hallo!
Ich habe eine Frage zum zweiten Aufgabenteil. Im Lösungsvorschlag steht, dass man die Reihe zur Funktion p(x) machen kann. Dann ist ja:
p'(x) = [mm] \summe_{k=2}^{\infty} (-3)^k(x+1)^{k-1}
[/mm]
= (-3) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-3)^k(x+1)^{k}
[/mm]
gemoetrische Reihe für |3x+3| < 1:
p'(x) = -3 [mm] \left( \frac{1}{1+(3x+3)} \right) [/mm] = 3 [mm] \left( \frac{3x+3}{3x+4} \right) [/mm] = 3 [mm] \left( 1 - \frac{1}{3x+4} \right)
[/mm]
Ich hätte jetzt so weiter gemacht: Das ganze integrieren, um nochmal auf p(x) zu kommen und dann c berechnen.
Also:
p(x) = 3 [mm] \integral{1 dx} [/mm] - [mm] \integral{\frac{3}{3x+4} dx} [/mm] = 3x - [mm] \ln(3x+4) [/mm] + c
Im Lösungsvorschlag steht aber:
p(x) = 3 [mm] \integral_{-1}^{x}{1 dt} [/mm] - [mm] \integral_{-1}^{x}{\frac{3}{3t+4} dt}
[/mm]
Wie man dann weiter rechnet, ist mir klar - und dass das Ergebnis richtig ist, auch. Ich verstehe aber einfach nicht, warum man hier jetzt Grenzen in das Integral einsetzen muss. Und warum gerade -1 und x? Wegen der Entwicklung um [mm] x_0 [/mm] = -1? Geht es ohne Grenzen nur, wenn man eine Potenzreihe um [mm] x_0 [/mm] = 0 hat?
Ich hoffe, man versteht halbwegs, was ich meine.
Schon mal vielen Dank,
acid
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Do 14.02.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo acid!
> Ermitteln Sie den Konvergenzradius R der Potenzreihe
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \frac{(-3)^k}{k}(x+1)^k[/mm]
> und
> bestimmen Sie für jedes x [mm]\in \IR[/mm] mit x + 1 [mm]\in[/mm] (−R, R)
> den Reihenwert.
>
> Hallo!
>
> Ich habe eine Frage zum zweiten Aufgabenteil. Im
> Lösungsvorschlag steht, dass man die Reihe zur Funktion
> p(x) machen kann. Dann ist ja:
>
> p'(x) = [mm]\summe_{k=2}^{\infty} (-3)^k(x+1)^{k-1}[/mm]
> = (-3)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-3)^k(x+1)^{k}[/mm]
>
> gemoetrische Reihe für |3x+3| < 1:
>
> p'(x) = -3 [mm]\left( \frac{1}{1+(3x+3)} \right)[/mm] = 3 [mm]\left( \frac{3x+3}{3x+4} \right)[/mm]
> = 3 [mm]\left( 1 - \frac{1}{3x+4} \right)[/mm]
>
> Ich hätte jetzt so weiter gemacht: Das ganze integrieren,
> um nochmal auf p(x) zu kommen und dann c berechnen.
>
> Also:
> p(x) = 3 [mm]\integral{1 dx}[/mm] - [mm]\integral{\frac{3}{3x+4} dx}[/mm] =
> 3x - [mm]\ln(3x+4)[/mm] + c
>
> Im Lösungsvorschlag steht aber:
> p(x) = 3 [mm]\integral_{-1}^{x}{1 dt}[/mm] -
> [mm]\integral_{-1}^{x}{\frac{3}{3t+4} dt}[/mm]
>
> Wie man dann weiter rechnet, ist mir klar - und dass das
> Ergebnis richtig ist, auch. Ich verstehe aber einfach
> nicht, warum man hier jetzt Grenzen in das Integral
> einsetzen muss. Und warum gerade -1 und x?
Weil $p(-1)=0$ ist und
[mm] \integral_{-1}^x p'(t) dt = p(x) -p(-1) = p(x) [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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