Reihenwert von Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Di 03.12.2013 | | Autor: | Dobbi1 |
| Aufgabe | Bestimmen sie für folgende Potenzreihen alle x element R für welche die Reihe konvergiert und berechnen sie in Abhängigkeit von x den Reihenwert
a) [mm] \summe_{n=0}^{unendlich}(n+1)(n+2)x^n
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{unendlich} [/mm] 2n(-4/9) x^(2n-1)
c) [mm] \summe_{n=0}^{unendlich}\bruch{x^(2n+1}{2n+1)!} [/mm] |
Die Konvergenz kann ich noch berechnen. aber wie berechne ich den Reihenwert in Abhängigkeit vonx?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Auch dir ein freundliches "Hallo" ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> Bestimmen sie für folgende Potenzreihen alle x element R
> für welche die Reihe konvergiert und berechnen sie in
> Abhängigkeit von x den Reihenwert
> a) [mm]\summe_{n=0}^{unendlich}(n+1)(n+2)x^n[/mm]
> b) [mm]\summe_{n=1}^{unendlich}[/mm] 2n(-4/9) x^(2n-1)
Steht da [mm]2n\cdot{}\left(-\frac{4}{9}\right)[/mm] ?
Dann kannst du [mm]-\frac{4}{9}[/mm] rausziehen und dir mal die Ableitung von [mm]\sum\limits_{n\ge 0}x^{2n}[/mm] angucken ...
Gehe analog zu a) vor - siehe weiter unten ...
> c) [mm]\summe_{n=0}^{unendlich}\bruch{x^(2n+1}{2n+1)!}[/mm]
> Die Konvergenz kann ich noch berechnen. aber wie berechne
> ich den Reihenwert in Abhängigkeit vonx?
Machen wir mal zuerst die a)
Du weißt sicher, dass für [mm]|x|<1[/mm] gilt: [mm]\sum\limits_{n\ge 0}x^n=\frac{1}{1-x}[/mm]
Differenziere auf beiden Seiten zweimal ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß zurück!
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Di 03.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Machen wir mal zuerst die a)
>
> Du weißt sicher, dass für [mm]|x|<1[/mm] gilt: [mm]\sum\limits_{n\ge 0}x^n=\frac{1}{1-x}[/mm]
>
> Differenziere auf beiden Seiten zweimal ...
und er sollte überlegen, warum man Differentiation und Summation
vertauschen darf (dazu findet man sicher im Bereich "Potenzreihen"
einen entsprechenden Satz).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Di 03.12.2013 | | Autor: | Dobbi1 |
Hallo,
sorry ich habe mich verschrieben es muss [mm] (-4/9)^n [/mm] heissen
das problem mit der Ableitung ist, dass wir si in der Vorlesung noch nicht eingeführt haben und wir sie deshalb nicht beim bearbeiten der Aufgaben verweden dürfen.
liebe grüsse Dobbi1
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:04 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Dobbi1 |
Ich habe bis jetzt alles hinbekommen, ausser die b.
kann mir bitte jemand weiterhelfen?
ich habe durch das wurzelkrit herausbekommen, dass es für n gegen unedlich gegen 0 konvergiert
und dass r unendlich ist und die riehe also für jedes x konvergent ist...
aber den reihenwert bekomme ich nicht raus
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> Ich habe bis jetzt alles hinbekommen, ausser die b.
> kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Hallo,
vielleicht sagst Du erstmal, um welche Reihe es geht.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich es richtig lese.
LG Angela
>
> ich habe durch das wurzelkrit herausbekommen, dass es für
> n gegen unedlich gegen 0 konvergiert
> und dass r unendlich ist und die riehe also für jedes x
> konvergent ist...
>
> aber den reihenwert bekomme ich nicht raus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Do 05.12.2013 | | Autor: | Dobbi1 |
| Aufgabe | [mm] \summe_{i=1}^{unendlich}2n (4/9)^n [/mm] x^(2n-1)
das ich die reihe wo ich nicht hinbekomme
ich muss den reihenwert ausrechnen |
[mm] \bruch{2}{x}\summe_{i=1}^{unendlich} (n*((-4/9)*x^2)^n) [/mm] = [mm] \bruch{2}{x}* (\summe_{i=1}^{unendlich}(n+1)*((-4/9)*x^2)^n [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{unendlich}((-4/9)*x^2)^n)
[/mm]
das sind emien überlegungen
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> [mm]\summe_{i=1}^{unendlich}2n (4/9)^n[/mm] x^(2n-1)
>
> das ich die reihe wo ich nicht hinbekomme
Hallo,
könnte es sein, daß die Summation über n laufen soll und nicht über i?
den Konvergenzradius hast Du schon?
>
> ich muss den reihenwert ausrechnen
> [mm]\bruch{2}{x}\summe_{i=1}^{unendlich} (n*((-4/9)*x^2)^n)[/mm] =
Wo kommt denn das Minuszeichen plötzlich her?
Okay - Indizien deuten daraufhin, daß es sich hier in Wahrheit um die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}2n*(-\bruch{4}{9})^nx^{2n-1}
[/mm]
handeln soll.
Es ist
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}2n*(-\bruch{4}{9})^nx^{2n-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{x}*\summe_{n=1}^{\infty}n*(-\bruch{4}{9})^nx^{2n}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{x}*\summe_{n=1}^{\infty}n*(-\bruch{4x^2}{9})^n
[/mm]
Berechne jetzt doch mal
[mm] (\summe_{n=1}^{\infty}(-\bruch{4x^2}{9})^n)*(\summe_{n=1}^{\infty}(-\bruch{4x^2}{9})^n).
[/mm]
Das ist das Produkt zweier geometrischer Reihen - dieses Wissen könnte bei der Bestimmung des Reihenwertes helfen...
LG Angela
> [mm]\bruch{2}{x}* (\summe_{i=1}^{unendlich}(n+1)*((-4/9)*x^2)^n[/mm]
> - [mm]\summe_{i=1}^{unendlich}((-4/9)*x^2)^n)[/mm]
>
> das sind emien überlegungen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Di 03.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Wenn Ihr Ableitungen noch nicht verwenden dürft, so hilft bei a) das Cauchyprodukt:
Berechne damit für |x|<1
[mm] (\summe_{n=0}^{\infty}x^n)^3
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Di 03.12.2013 | | Autor: | Dobbi1 |
wie kann ich das CauchyProdukt darauf anwende?
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Papier und Stift nehmen und rechnen.
[mm]\left(\sum\limits_{n\ge 0}x^n\right)^3=\left(\sum\limits_{n\ge 0}x^n\right)^2\cdot{}\left(\sum\limits_{n\ge 0}x^n\right)[/mm]
Erst das Quadrat berechnen, dann weiter ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Di 03.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
das "Witzige" ist hier, dass viele Wege zum Reihenwert führen; also sogar
noch eine Alternative:
(I) Gesucht ist zunächst
$S(x):=\sum_{k=0}^\infty k*x^k$ für $|x|\;<\;1.$
Im Folgenden sei stets $|x|\;<\;1,$ dann gilt:
$S(x)=\sum_{k=\red{1}}^\infty (k-1)x^k\right)+\sum_{k=0}^\infty x^k\blue{\;-\;1}$ (Warum?)
Es folgt
$S(x)=x*\sum_{\ell=\red{0}}^\infty \ell*x^\ell+\frac{1}{1-x}-1=x*\sum_{\ell=\red{0}}^\infty \ell*x^\ell+\frac{\blue{x}}{1-x}\,.$ (Warum?),
also
$S(x)=x*S(x)+\frac{\blue{x}}{1-x}\,.$
Kannst Du diese Gleichung nach $S(x)\,$ auflösen?
Im nächsten Schritt versuchst Du dann analog vorzugehen und das Egebnis
von (I) zu verwenden.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Di 03.12.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S. Man sollte vielleicht auch noch kurz die Existenz von
[mm] $S(x)\,$ [/mm] für $|x| < [mm] 1\,$
[/mm]
ergänzen: Etwa Wurzelkriterium mit Verwendung von [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1,$ oder
Quotientenkriterium...
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