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| Aufgabe | 1. Gegeben sei eine Funktion f : R²-->R, [mm] (x,y)^T [/mm] --> (x³-12x) exp(y³-12y)
Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion.
2. Es sei K := {x [mm] \in R^n [/mm] I IxI [mm] \le [/mm] 1} und [mm] f(x_{1} [/mm] , ... , [mm] x_{n}) [/mm] := [mm] x_{1} [/mm] * ... * [mm] x_{n}
[/mm]
Bestimmen Sie auch hier Minimum und Maximum der Funktion. |
Liebe User,
ich hocke schon wieder an so Aufgaben, welche ich zwar für recht einfach empfinde, jedoch nicht sicher bin, was die da genau von mir wollen.
Zu erstens : Was bedeutet [mm] (x,y)^T [/mm] ? wozu hier ein T ? Darf ich nicht einfach weiterrechnen, als ob da kein T wäre ?
Zu zweitens : wie geht den das überhaupt ? Ist es nicht so ein F = [mm] x_{1}*x_{2} [/mm] . . . ==> Wie kann man den hier die Ableitungen machen ?
Liebe Mathematiker, HELFT MIR BITTE, denn vielleicht haben diese Definitionen eine wichtige Bedeutung, welche ich nicht verstanden habe ?
Liebe Grüße,
euer KGB-Spion
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> 1. Gegeben sei eine Funktion f : R²-->R, [mm](x,y)^T[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
-->
> (x³-12x) exp(y³-12y)
> Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion.
>
> 2. Es sei K := {x [mm]\in R^n[/mm] | |x| [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1} und [mm]f(x_{1}[/mm] , ... ,
> [mm]x_{n})[/mm] := [mm]x_{1}[/mm] * ... * [mm]x_{n}[/mm]
> Bestimmen Sie auch hier Minimum und Maximum der Funktion.
> Liebe User,
>
> ich hocke schon wieder an so Aufgaben, welche ich zwar für
> recht einfach empfinde, jedoch nicht sicher bin, was die da
> genau von mir wollen.
>
> Zu erstens : Was bedeutet [mm](x,y)^T[/mm] ?
Hallo,
das bedeutet [mm] \vektor{x\\y}.
[/mm]
> wozu hier ein T ? Darf
> ich nicht einfach weiterrechnen, als ob da kein T wäre ?
Doch. Tu so, als wäre nichts. Und grüble hinfort nicht mehr.
Du sollst das ganz normale Procedere anlaufen lasssen mit grad =0 usw.
>
> Zu zweitens : wie geht den das überhaupt ?
Dies ist eine Extremwertberechnung mit Nebenbedingung.
Schauen wir uns zunächst mal K an.
Offensichtlich ist K (wegen [mm] x\in \IR^n) [/mm] eine Teilmenge des [mm] \IR^n.
[/mm]
x [mm] \in \IR^n [/mm] könnte man auch schreiben als [mm] \vektor{x_1\\x_2\\ ...\\x_n} \in \IR^n, [/mm] oder - fallls Du das lieber magst: [mm] (x_1, x_2, ...,x_n).
[/mm]
|x| [mm] \le [/mm] 1 bedeutet, daß der Bereich, über dem Du die Funktion betrachten sollst, die Einheitskugel um den Ursprung ist, also die Vektoren/Punkte mit [mm] x_1^2+x_2^2+...+x_n^2\le [/mm] 1.
Du mußt also im Inneren (ganz normal, Gradient =0, und prüfen mit der Nebenbedingung, ob die gefundenen Punkte in dem Gebiet liegen) und auf dem Rand (Lagrange) suchen.
Das Gute: die Kugel ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt...
> Ist es nicht so
> ein F = [mm]x_{1}*x_{2}[/mm] . . . ==> Wie kann man den hier die
> Ableitungen machen ?
Deine Funktion ist eine Funktion in Abhängigkeit von [mm] x_1, x_2, x_3, ...,x_n, [/mm] also ist
[mm] F(x_1, x_2, x_3, ...,x_n)=x_1*x_2*x_3* ...*x_n.
[/mm]
Tja, für den Gradienten leitest Du nun partiell nacheinander nach [mm] x_1, x_2, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] ab. Das ist nicht schwer.
Gruß v. Angela
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Also erstens : Du kannst SUUUPPPPEEERRR erklären - da macht Mathe wirklich spass.
Ich habe soweit alles verstanden, nur verstehe nicht, wie man diese "Reihenschreibweise" [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] einfach so als einen Vektor schreiben darf. Ich meine fehlen da nicht irgendwo die [mm] e_{x} [/mm] , und so weiter ? Ohne Richtungsvektoren ist es doch ein bisschen wild oder ?
Kann es was damit zutun haben, dass man eine art "Skalarprodukt" mit (1,...1) macht ? Dann wäre es folgerichtig, wobei : Warum werden die [mm] x_{1} [/mm] - - - mit einander multipliziert ?
Ansonsten THANK YOU VERY MUCH 
MFG,
Dein KGB-Spion
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Sa 20.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. mit der komponentenschreibweise stellt man doch ueblicherweise Vektoren im [mm] \IR^n [/mm] dar?
normalerweise als Spalte, in Skripten oft als Zeile, dann mit dem Transpositionszeihen hoch T, also soll es eigentlich nen spaltenvektor sein.
Die Frage nach dem Produkt versteh ich nicht. 2d heisst das doch z. Bsp einfach f(x,y)=x*y das ist eine einfache Funktionsdefinition, die nichts mit Skalarprodukt zu tun hat, obwohl man sie natuerlich so schreiben kann.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:42 So 21.09.2008 | | Autor: | KGB-Spion |
Achso, dann ist ja lediglich eine "Definitionssache".
DANKE DANKE --> Hoffentlich werde ich am Montag alles, was ich gelernt habe richtig machen 
Vielen Dank für die Hilfe und BESTE GRUESSE AN EUCH ALLE !!!
Euer KGB-Spion
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