Rek.-Asympt Anal.-Erz.Funktion < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
es wäre nett von Euch, wenn ihr mir helfen mit dieser Aufgabe helfen könntet:
"Gegeben seien 2n+1 Objekte ( n [mm] \ge [/mm] 0) mit den Gewichten [mm] a_{1}, a_{2},...,a_{2n+1} [/mm] . Wenn man ein beliebiges Objekt entfernt, lassen sich die restlichen Objekte stets in zwei Haufen aufteilen, so dass jeder Haufen das gleiche Gewicht und die gleiche Anzahl von Objekten hat.
Zeige, dass alle Objekte gleich schwer sind.
Hinweis: Betrachte [mm] a_j [/mm] mod [mm] 2^{k}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo und guten Morgen,
nehmen wir also - wie es der ''Tip'' auch nahelegt - mal an, die Gewichte seien natürliche Zahlen [mm] \geq [/mm] 0.
Wenn fuer jedes [mm] j\in\{1,\ldots , 2n=1\} [/mm] bei Entfernen von j das ''Partitionsproblem'' fuer die restlichen 2n lösbar ist, so
auch modulo 2. Modulo 2 haben wir Gewichte 0,1. Wir zeigen, dass fuer den 0-1-Fall alle Gewichte gleich sind, d.h.
dass im allgemeinen Fall schon mal die letzte Ziffer aller Gewichte (in Binärdarst.) gleich ist.
Nehmen wir an, im 0-1-Fall seien einige Gewichte 1 und einige 0. Nehmen wir eine 0 heraus, so patitionieren wir die restliche in zwei
gleich grosse Teile gleichen Gewichtes. Die Zahl der 1-Gewicht innerhalb dieses Teils ist also gerade. Aber dann wäre insgesamt die Anzahl 1-Gewichte gerade, und wenn wir dann eine 1 rausnehmen würden, könnten wir nicht mehr partitionieren.
Also sind alle letzten Ziffern gleich. Falls sie gleich 0 sind: Dividiere durch 2 und iteriere. Falls sie gleich 1 sind: Subtrahiere 1 von allen Gewichten, dann
bleibt die Partitionseigenschaft erhalten, und dann dividiere durch 2 und iteriere das Argument.
Somit haben wir es schon mal für natürliche Gewichte (incl. 0 ) bewiesen.
Hilft das schon mal weiter ? Für nicht-negative rationale Gewichte multiplizieren wir mit dem Hauptnenner, das ändert die Partitionseigenschaft nicht, und wir erhalten dasselbe Resultat. Für irrationale Gewichte ? Ich denk mal drüber nach, aber vielleicht reicht das Geschriebene ja schon aus für Deine
Zwecke.
Gruss,
Mathias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Mo 12.06.2006 | | Autor: | branwijck |
Hi Matthiash,
danke für deine Lösung, sie ist sehr kreativ.
Ich habe versucht auch aufzulösen und glaube, dass meine Lösung auch plausibel wäre, bitte gück mal nach und sag mir, ob du einen Fehler siehst, ok?
[mm] \summe_{i=1}^{2n+1} a_{i} [/mm] = S (I)
Eine der Voraussetzung ist die folgende:
Gewichter der Haufen sind gleich und außerdem haben sie die gleiche Anzahl von Elementen, also
Gewicht des Haufens [mm] H_{1} [/mm] = s mit | [mm] H_{1}| [/mm] = n
Gewicht des Haufens [mm] H_{2} [/mm] = s mit | [mm] H_{2}| [/mm] = n
und außerdem [mm] H_{1} [/mm] = [mm] H_{2} [/mm] (nach der Voraussetzung)
Es ist offensichtlich, dass [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{n} a_{k} [/mm] = p mit [mm] a_{i} \in H_{1} [/mm] und [mm] a_{k} \in H_{2}, [/mm] da [mm] H_{1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] und [mm] H_{2} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{k} [/mm] nach der Voraussetzung gleich sein müssen.
Achtung, das ist nur wahr, wenn die Folgen die gleiche Anzahl von Elementen haben, genau was unser Fall ist!
Bemerkung : bitte achte mal noch nicht auf die Indize, was ich ausdrucken will, ist, dass die Summe von Gewichtern der Elementen jedes Haufens gleich ist, nicht, dass sie Elemente verteilen, ok!?
Also [mm] \produkt_{l=1}^{2n+1} a_{l} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] * [mm] a_{j} [/mm] = [mm] p^{2} [/mm] * [mm] a_{j} [/mm] = P (II)
[mm] a_{j} [/mm] ist ein beliebiges Objekt, dann können wir den Obigen Ausdruck für alle solchen [mm] a_{j} [/mm] aufsummieren, dass j=1..2n+1 ist.
Damit würde es sich ergeben:
[mm] p^{2} [/mm] * [mm] \summe_{j=1}^{2n+1} a_{j} [/mm] = P * (2n+1)
[mm] p^{2} [/mm] * S = P * (2n+1)
S = [mm] \bruch{P}{p^{2}} [/mm] * (2n+1) (III)
Und zuletzt, werwenden wir (II) auf
S = [mm] a_{j} [/mm] * (2n+1) für jedes beliebige Element [mm] a_{j}
[/mm]
Und mit (I), kann man behaupten, dass alle [mm] a_{j} [/mm] gleich sind.
Grüsse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Mo 12.06.2006 | | Autor: | branwijck |
Die vorige Mitteilung war komplett falsch. Danke nochmal!
|
|
|
|
