matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDiskrete MathematikRek.-Asympt Anal.-Erz.Funktion
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Diskrete Mathematik" - Rek.-Asympt Anal.-Erz.Funktion
Rek.-Asympt Anal.-Erz.Funktion < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Diskrete Mathematik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Rek.-Asympt Anal.-Erz.Funktion: Haufen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:27 So 11.06.2006
Autor: branwijck

Aufgabe
HAUFEN

Hallo,
es wäre nett von Euch, wenn ihr mir helfen mit dieser Aufgabe helfen könntet:

"Gegeben seien 2n+1 Objekte ( n [mm] \ge [/mm] 0) mit den Gewichten [mm] a_{1}, a_{2},...,a_{2n+1} [/mm]  . Wenn man ein beliebiges Objekt entfernt, lassen sich die restlichen Objekte stets in zwei Haufen aufteilen, so dass jeder Haufen das gleiche Gewicht und die gleiche Anzahl von Objekten hat.

Zeige, dass alle Objekte gleich schwer sind.

Hinweis: Betrachte [mm] a_j [/mm] mod [mm] 2^{k} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Rek.-Asympt Anal.-Erz.Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Mo 12.06.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Morgen,

nehmen wir also - wie es der ''Tip'' auch nahelegt - mal an, die Gewichte seien natürliche Zahlen [mm] \geq [/mm] 0.

Wenn fuer jedes [mm] j\in\{1,\ldots , 2n=1\} [/mm] bei Entfernen von j das ''Partitionsproblem'' fuer die restlichen 2n lösbar ist, so
auch modulo 2. Modulo 2 haben wir Gewichte 0,1. Wir zeigen, dass fuer den 0-1-Fall alle Gewichte gleich sind, d.h.
dass im allgemeinen Fall schon mal die letzte Ziffer aller Gewichte (in Binärdarst.) gleich ist.
Nehmen wir an, im 0-1-Fall seien einige Gewichte  1 und einige 0. Nehmen wir eine 0 heraus, so patitionieren wir die restliche in zwei
gleich grosse Teile gleichen Gewichtes. Die Zahl der 1-Gewicht innerhalb dieses Teils ist also gerade. Aber dann wäre insgesamt die Anzahl 1-Gewichte gerade,  und wenn wir dann eine 1 rausnehmen würden, könnten wir nicht mehr partitionieren.

Also sind alle letzten Ziffern gleich. Falls sie gleich 0 sind: Dividiere durch 2 und iteriere. Falls sie gleich 1 sind: Subtrahiere 1 von allen Gewichten, dann
bleibt die Partitionseigenschaft erhalten, und dann dividiere durch 2 und iteriere das Argument.

Somit haben wir es schon mal für natürliche Gewichte (incl. 0 ) bewiesen.

Hilft das schon mal weiter ? Für nicht-negative rationale Gewichte multiplizieren wir mit dem Hauptnenner, das ändert die Partitionseigenschaft nicht, und wir erhalten dasselbe Resultat. Für irrationale Gewichte ? Ich denk mal drüber nach, aber vielleicht reicht das Geschriebene ja schon aus für Deine
Zwecke.

Gruss,

Mathias

Bezug
                
Bezug
Rek.-Asympt Anal.-Erz.Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:10 Mo 12.06.2006
Autor: branwijck

Hi Matthiash,
danke für deine Lösung, sie ist sehr kreativ.

Ich habe versucht auch aufzulösen und glaube, dass meine Lösung auch plausibel wäre, bitte gück mal nach und sag mir, ob du einen Fehler siehst, ok?

[mm] \summe_{i=1}^{2n+1} a_{i} [/mm] = S  (I)

Eine der Voraussetzung ist die folgende:
Gewichter der Haufen sind gleich und außerdem haben sie die gleiche Anzahl von Elementen, also

Gewicht des Haufens [mm] H_{1} [/mm] = s  mit  | [mm] H_{1}| [/mm] = n
Gewicht des Haufens [mm] H_{2} [/mm]  = s mit  | [mm] H_{2}| [/mm] = n
und außerdem [mm] H_{1} [/mm] = [mm] H_{2} [/mm] (nach der Voraussetzung)

Es ist offensichtlich, dass  [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{n} a_{k} [/mm] = p mit [mm] a_{i} \in H_{1} [/mm] und [mm] a_{k} \in H_{2}, [/mm] da [mm] H_{1} [/mm] =  [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] und [mm] H_{2} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{k} [/mm] nach der Voraussetzung gleich sein müssen.

Achtung, das ist nur wahr, wenn die Folgen die gleiche Anzahl von Elementen haben, genau was unser Fall ist!

Bemerkung : bitte achte mal noch nicht auf die Indize, was ich ausdrucken will, ist, dass die Summe von Gewichtern der Elementen jedes Haufens gleich ist, nicht, dass sie Elemente verteilen, ok!?

Also [mm] \produkt_{l=1}^{2n+1} a_{l} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] * [mm] a_{j} [/mm] = [mm] p^{2} [/mm] * [mm] a_{j} [/mm] = P    (II)


[mm] a_{j} [/mm] ist ein beliebiges Objekt, dann können wir den Obigen Ausdruck für alle solchen [mm] a_{j} [/mm] aufsummieren, dass j=1..2n+1 ist.

Damit würde es sich ergeben:

[mm] p^{2} [/mm] * [mm] \summe_{j=1}^{2n+1} a_{j} [/mm] = P * (2n+1)    
[mm] p^{2} [/mm] * S = P  * (2n+1)


S =  [mm] \bruch{P}{p^{2}} [/mm] * (2n+1) (III)

Und zuletzt, werwenden wir (II) auf
S = [mm] a_{j} [/mm] * (2n+1) für jedes beliebige Element [mm] a_{j} [/mm]

Und mit  (I), kann man behaupten, dass alle [mm] a_{j} [/mm] gleich sind.

Grüsse

Bezug
                        
Bezug
Rek.-Asympt Anal.-Erz.Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:31 Mo 12.06.2006
Autor: branwijck

Die vorige Mitteilung war komplett falsch. Danke nochmal!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Diskrete Mathematik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 4h 14m 3. TS85
MaßTheo/Sigma-Algebra = P(X)
Status vor 22h 03m 8. Gonozal_IX
MaßTheo/Beweis Sigma-Algebra
Status vor 1d 20h 45m 6. hohohaha1234
USons/Größtmöglichstes Produkt
Status vor 2d 2. matux MR Agent
Mathematica/parametrischen Plot
Status vor 2d 3. Gonozal_IX
UAuslg/Log. Äquivl. vs. log. Schluss
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]