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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, wäre toll wenn mir hier jemand helfen könnte...
Aufgabenstellung:
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der ZUfallsgrößen X1, X2 bei einem n-stufigen Multinomielversuch mit den zugehörigen Erfolgswahrscheinlichkeiten p1, p2, p3 läßt sich rekursiv aus P(X1=0, X2=0) berechnen. Stelle die zugehörigen Rekursionsformeln auf und erläutere sie am Beispiel!
Die Lösung müsste wohl P(X1=k1, X2=0) sein, aber ich bin mir nicht sicher und verstehe auch die Rechnung nicht...
Habe die Frage extra nicht unter "Oberstufe" gestellt, weil dieser Stoff nicht dort behandelt wird.
Freue mich auf eine Antwort, lg Anna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Di 10.05.2005 | | Autor: | Brigitte |
Hallo Anna!
> Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der
> ZUfallsgrößen X1, X2 bei einem n-stufigen
> Multinomielversuch mit den zugehörigen
> Erfolgswahrscheinlichkeiten p1, p2, p3 läßt sich rekursiv
> aus P(X1=0, X2=0) berechnen. Stelle die zugehörigen
> Rekursionsformeln auf und erläutere sie am Beispiel!
Tut mir leid, aber ich verstehe die Frage nicht. Kannst Du bitte mal in einer Formel aufschreiben, was es bedeutet, dass X1 und X2 Zufallsgrößen bei einem n-stufigen Multinomialversuch mit 3 Erfolgswahrscheinlichkeiten sind? Ist X3 dann n-X1-X2? Und gilt p1+p2+p3=1? Oder verstehe ich das völlig falsch?
> Die Lösung müsste wohl P(X1=k1, X2=0) sein, aber ich bin
Was ist denn das für eine Rekursion? Wie kann das die Lösung des Problems sein?
![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
> mir nicht sicher und verstehe auch die Rechnung nicht...
Dann teile doch mal die Rechnung mit...
Viele Grüße
Brigitte
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[mm] P(X_1=k_1; X_2=0) [/mm] soll wohl rekursiv aus [mm] P(X_1=0; X_2=0) [/mm] berechnet werden.
Die Lösung ist folgende: (aus einem Mathebuch)
[mm] \bruch{P(X_1=k; X_2=0)}{P(X_1=k-1; X_2=0)} =\bruch{{n \choose k, 0, n-k}p_1 ^kp_2 ^0p_3 ^{n-k}}{{n \choose k-1, 0, n-k+1}p_1 ^k-1p_2 ^0p_3 ^{n-k+1}} [/mm]
= [mm] \bruch{n!(k-1)!(n-k+1)!p_1}{k!(n-k)!n!p_3}=\bruch{n-k+1}{k}*\bruch{p_1}{p_3}
[/mm]
also [mm] P(X_1=k; X_2=0) [/mm] = [mm] \bruch{n-k+1}{k}* \bruch{p_1}{p_3}*P(X_1=k-1; X_2=0)
[/mm]
Das ist anscheinend das Ergebnis, aber der Lösungsweg ist mir völlig unklar...
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Hallo Anna!
> [mm]P(X_1=k_1; X_2=0)[/mm] soll wohl rekursiv aus [mm]P(X_1=0; X_2=0)[/mm]
> berechnet werden.
OK, die Aufgabe ist mir immer noch nicht ganz klar, denn wenn immer [mm] $X_2=0$ [/mm] betrachtet wird, kommt man ja nicht auf die gemeinsame Verteilung (für beliebiges [mm] $x_2$), [/mm] aber in Ordnung.
> Die Lösung ist folgende: (aus einem Mathebuch)
>
> [mm]\bruch{P(X_1=k; X_2=0)}{P(X_1=k-1; X_2=0)} =\bruch{{n \choose k, 0, n-k}p_1 ^kp_2 ^0p_3 ^{n-k}}{{n \choose k-1, 0, n-k+1}p_1 ^k-1p_2 ^0p_3 ^{n-k+1}}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{n!(k-1)!(n-k+1)!p_1}{k!(n-k)!n!p_3}=\bruch{n-k+1}{k}*\bruch{p_1}{p_3}[/mm]
>
> also [mm]P(X_1=k; X_2=0)[/mm] = [mm]\bruch{n-k+1}{k}* \bruch{p_1}{p_3}*P(X_1=k-1; X_2=0)[/mm]
>
> Das ist anscheinend das Ergebnis, aber der Lösungsweg ist
> mir völlig unklar...
Was ist genau unklar? Die Schreibweise ${n [mm] \choose [/mm] k, [mm] \ell,m}$ [/mm] steht für [mm] $\frac{n!}{k!\ell !m!}$. [/mm] Bei obiger Rechnung werden ja lediglich die Wahrscheinlichkeiten [mm] $P(X_1=k; X_2=0)$ [/mm] und [mm] $P(X_1=k-1; X_2=0)$ [/mm] miteinander verglichen, indem man den Quotienten bildet und lange genug kürzt. Kannst Du bitte ein bisschen genauer sagen, was Dir unklar ist?
Wenn es um die Multinomialverteilung geht: hier steht ein Experiment im Vordergrund, das n Mal durchgeführt wird und bei dem verschiedene (hier: 3) Ergebnisse möglich sind (und zwar mit Wkt. [mm] $p_1,p_2$ [/mm] bzw. [mm] $p_3$). [/mm] Die Zufallsvariablen [mm] $X_1$, $X_2$ [/mm] und [mm] $X_3$ [/mm] zählen nun, wie oft jedes Ergebnis aufgetreten ist. Deshalb gilt [mm] $X_1+X_2+X_3=n$, [/mm] und man spart sich wegen dieser Nebenbedingung meist, noch [mm] $X_3$ [/mm] mit aufzuführen. Wenn $k$ Mal das erste Ergebnis eingetreten ist, und kein Mal das zweite Ergebnis, muss $n-k$ Mal das dritte Ergebnis aufgetreten sein. Für eine spezielle Reihenfolge (sagen wir die ersten k Experimente lieferten das erste Ergebnis und alle folgenden das dritte) ist dafür die Wkt.
[mm] $p_1 ^k\cdot p_2 ^0\cdot p_3 [/mm] ^{n-k}$.
Da aber die Reihenfolge keine Rolle spielt, sondern lediglich die Anzahlen $k$ und $n-k$ wichtig sind, multipliziert man noch mit der Anzahl von Kombinationen, die genau diese Anzahlen liefern. Dies ist dann gerade der Bruch
[mm] $\frac{n!}{k!(n-k)!}$
[/mm]
Insgesamt folgt
[mm] $P(X_1=k; X_2=0)={n \choose k, 0, n-k}p_1 ^kp_2 ^0p_3 [/mm] ^{n-k}$.
Ist es nun ein wenig klarer?
Viele Grüße
Brigitte
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Hallo Brigitte,
vielen Dank (!!!) erstmal für deine Hilfe; der Lösungsweg ist mir jetzt klar.
Jetzt habe ich leider noch ein Problem...
Wie komme ich auf [mm] P(X_1=k-1; X_2=0) [/mm] (der Nenner des Quotienten), wenn ich nur den Teiler habe? So wie in der Aufgabe danach gefragt wurde?
"Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der ZUfallsgrößen X1, X2 bei einem n-stufigen Multinomielversuch mit den zugehörigen Erfolgswahrscheinlichkeiten p1, p2, p3 läßt sich rekursiv aus P(X1=0, X2=0) berechnen. Stelle die zugehörigen Rekursionsformeln auf und erläutere sie am Beispiel!"
Lieben Gruß Anna
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Hallo Anna!
> Wie komme ich auf [mm]P(X_1=k-1; X_2=0)[/mm] (der Nenner des
> Quotienten), wenn ich nur den Teiler habe? So wie in der
> Aufgabe danach gefragt wurde?
Na ja, wenn man etwas rekursiv darstellen soll, geht es um einen Zusammenhang zwischen dem Problem für k und demjenigen für k-1. Hier geht es also um den Zusammenhang zwischen [mm] $P(X_1=k; X_2=0)$ [/mm] und [mm] $P(X_1=k-1; X_2=0)$. [/mm] Wenn man diese beiden Wahrscheinlichkeiten vergleicht, stellt man fest, dass ziemlich viele Faktoren übereinstimmen, deshalb ist es naheliegend, dass gilt
[mm] $P(X_1=k; X_2=0)=c\cdot P(X_1=k-1; X_2=0)$,
[/mm]
und deshalb bildet man den Quotienten, um c zu bestimmen. Aber wie gesagt, meiner Ansicht nach ist das Problem damit noch nicht wirklich gelöst, weil die eine Anzahl auf 0 gesetzt wird. Allgemein möchte man ja irgendwie auf die Formel für
[mm] $P(X_1=k; X_2=\ell)$
[/mm]
kommen, und da muss man sich schon noch was überlegen. Ich denke aber, dass das Prinzip dasselbe ist. Nur muss man dann eben von [mm] $P(X_1=k; X_2=0)$ [/mm] aus rekursiv bis [mm] $P(X_1=k; X_2=\ell)$ [/mm] kommen.
Viele Grüße
Brigitte
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Danke vielmals nochmal!
Entweder habe ich einen totalen Denkfehler oder ich weiss auch nicht 
Also, In der Aufgabe ist nur [mm] P(X_1=0, X_2=0) [/mm] gegeben. Woher kommt auf einmal das k??? Das müsste doch dann das [mm] X_3 [/mm] sein, wenn die beiden anderen X schon 0 sind...?
Gruß Anna
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Hallo Anna!
> Also, In der Aufgabe ist nur [mm]P(X_1=0, X_2=0)[/mm] gegeben. Woher
> kommt auf einmal das k??? Das müsste doch dann das [mm]X_3[/mm]
> sein, wenn die beiden anderen X schon 0 sind...?
Also Ziel ist doch, ganz allgemein die Wahrscheinlichkeiten [mm] $P(X_1=k,X_2=\ell)$ [/mm] (mit ganzen Zahlen [mm] $k,\ell\ge [/mm] 0$ und [mm] $k+\ell\le [/mm] n$) anzugeben, die größer als 0 sind. Diese Wahrscheinlichkeiten sind gleichbedeutend mit [mm] $P(X_1=k,X_2=\ell,X_3=n-k-\ell)$, [/mm] denn es muss ja [mm] $X_1+X_2+X_3=n$ [/mm] gelten. Bei [mm] $X_1=0$ [/mm] und [mm] $X_2=0$ [/mm] muss also [mm] $X_3=n$ [/mm] sein, damit [mm] $P(X_1=k,X_2=\ell)>0$. [/mm]
Nun steht außerdem in der Aufgabe, dass man rekursiv vorgehen soll. Also z.B. soll man [mm] $P(X_1=1,X_2=0)$ [/mm] sowie [mm] $P(X_1=0,X_2=1)$ [/mm] jeweils aus [mm] $P(X_1=0,X_2=0)$ [/mm] ableiten, denn rekursiv bedeutet, dass man um 1 erhöht. Von diesen Wahrscheinlichkeiten soll man dann über die gefragten Rekursionsformeln zu [mm] $P(X_1=0,X_2=2)$, $P(X_1=1,X_2=1)$ [/mm] und [mm] $P(X_1=2,X_2=0)$ [/mm] gelangen können. Und damit man nicht die ganze Kette aufschreiben muss, macht man über die Rekursion das Prinzip klar, z.B. wie man allgemein von [mm] $P(X_1=k-1, X_2=0)$ [/mm] auf [mm] $P(X_1=k, X_2=0)$ [/mm] kommt. Hier hättest Du statt $k$ auch irgendeine andere Variable nehmen können.
Aber wie schon im letzten Posting angedeutet, ist das nicht die einzige allgemeine Rekursion, um die es geht. Denn so kommt man ja noch nicht allgemein auf [mm] $P(X_1=k, X_2=\ell)$, [/mm] da [mm] $\ell$ [/mm] stets die 0 bleibt.
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Mi 11.05.2005 | | Autor: | ANNA_LALA |
Okay, vielen vielen Dank, jetzt habe ich keine weitere Frage mehr!!!
Lieben Gruß Anna
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