Rekursionsformel < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Mi 30.05.2007 | | Autor: | misterET |
Hallo Leute!
Hoffe mir kann jemand dabei helfen, eine Rekursionsformel zu finden für:
Jn = [mm] \int_{}^{} [/mm] (sin [mm] x)^n\, [/mm] dx
Habe es versucht, indem ich t = tan(x/2) gesetzt habe, also mit der Standardsubst. für Sinusintegrale. Bin so aber nicht auf eine Lösung gekommen...ich glaube es war der falsche Weg.
Mfg, Benjamin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Benjamin!
Versuche es doch mal mit partieller Integration:
[mm] $\integral{\sin^n(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\sin(x)*\sin^{n-1}(x) \ dx}$
[/mm]
Nun wähle: $u' \ = \ [mm] \sin(x)$ [/mm] bzw. $v \ = \ [mm] \sin^{n-1}(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mi 30.05.2007 | | Autor: | misterET |
Mhh also die Formel umgestellt lautet dann:
Jn = -cos(x)*sin(x) + [mm] (n-1)*\int_{}^{} cos(x)^2*sin(x)^{n-2}\, [/mm] dx
Also das rechte Integral müsste ja irgendwie auf eine Form gebracht werden, wo sich von Ausgangsintegral nur das "n" unterscheidet.
Wird mit dieser Substitution aber immer länger....das [mm] cos^2 [/mm] stört nämlich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MisterET!
Beim ersten Teil Deiner Lösung fehlt noch ein Exponent ...
Und in dem rechten Integral kannst Du nun ersetzen: [mm] $\cos^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 1-\sin^2(x)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:48 Do 31.05.2007 | | Autor: | misterET |
Guten Abend!
Wollte noch die Endformel präsentiern ;)
Jn = [mm] \bruch{-cos(x)*sin(x)^3}{4} -\bruch{3*cos(x)*sin(x)}{8}+\bruch{3}{8} \cdot \*x [/mm] + C
Danke für den Hinweis!! Mir war sofort klar was zu tun ist!
Also Danke Loddar!
Und Tschüß ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Do 31.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo misterET!
> Jn = [mm]\bruch{-cos(x)*sin(x)^3}{4} -\bruch{3*cos(x)*sin(x)}{8}+\bruch{3}{8} \cdot \*x[/mm] + C
Das kann ja nicht stimmen, da hier gar keine rekursive Formel für allgemeines $n_$ vorliegt.
Im vorderen Term fehlt immer noch der Exponent [mm] $\sin^{\red{n-1}}(x)$ [/mm] . Und auch der Faktor davor muss ein $n_$ enthalten.
Und aus dem hinteren Integral wird nach Einsetzen von [mm] $\cos^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 1-\sin^2(x)$ [/mm] :
[mm] $(n-1)*\integral{\cos^2(x)*\sin^{n-2}(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] (n-1)*\integral{\left[1-\sin^2(x)\right]*\sin^{n-2}(x) \ dx} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] (n-1)*\integral{\sin^{n-2}(x) \ dx}-(n-1)*\integral{\sin^n(x) \ dx}$
[/mm]
Nun umstellen nach [mm] $\integral{\sin^n(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Do 31.05.2007 | | Autor: | misterET |
Tach!
Mh, habe die Formel richtig hinbekommen!
Habe ausversehen das Ergebnis für [mm] sin(x)^4 [/mm] hingeschrieben, also für Jn mit n = 4.
Habe die Formel abern schon in den Papierkorb geworfen....man muss ja nicht alles aufheben ;)
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